培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第二册 · 第 8 章 立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
表面积靠“展开化平”，体积抓“底面与高”。理解柱锥台球的统一结构，区分圆锥、圆台的母线与垂直高，识别组合体接合面陷阱；祖暅原理作为拓展观察，不作基本要求。
3D 舞台：把柱、锥、台剪开铺平，面积体积跟着尺寸实时算 →
冷饮店有两种相同高度 \(h=10\text{ cm}\)、底面半径都是 \(r=3\text{ cm}\) 的冰淇淋容器：一个是尖底圆锥蛋筒，一个是直筒圆柱杯。先独立判断，选择后再用倒入实验检验。
如果将圆柱杯盛满冰淇淋，刚好能倒满几个这种等底等高的圆锥蛋筒？
B。刚好倒满 3 个！无论是圆锥与圆柱，还是棱锥与等底等高的棱柱，锥体体积恒为对应柱体体积的 \(\dfrac{1}{3}\)。
南北朝数学家祖冲之父子创立的“祖暅原理”更是揭示了空间体积的核心本质：“幂势既同，则积不容异”。这一节我们就来系统搞懂柱体、锥体、台体和球的表面积与体积计算法则。
1. 先认识几个词
要用到：初中矩形与扇形面积、勾股定理、圆周长与圆面积公式。
圆锥母线：顶点到底面圆周上任意一点的线段，长 \(l=\sqrt{r^2+h^2}\)；非退化圆锥中 \(r,h>0\)，故 \(l>h\)。
圆台与圆柱：圆台上下底半径为 \(R,r\) 时，\(l=\sqrt{(R-r)^2+h^2}\)；圆柱母线则有 \(l=h\)。不能把圆锥的勾股关系套给它们。
展开与侧面积：圆锥展开扇形的半径是 \(l\)，侧面积 \(\pi rl\)；圆台展开为扇环，侧面积为 \(\pi(R+r)l\)。
本质定义：几何体顶点到底面、或两平行底面之间的垂直垂线段。
空间本质：代表几何体在垂直方向上的堆积厚度（祖暅原理核心变量）。
体积中的作用：\(V = \frac{1}{3}Sh\) 或 \(V = Sh\) 中必须代入垂直高，不能拿圆锥、圆台的斜长母线代替；圆柱的侧面积 \(2\pi rh\) 也会用到高。
祖暅原理（拓展，可跳过）：“幂势既同，则积不容异”。两等高几何体在所有等高处的水平截面面积恒相等，则其体积必相等。这是推导柱、锥、球体积公式的灵魂基石。
表面积与侧面积：所有侧面的面积之和叫侧面积；侧面积加底面积之和叫表面积（全面积），即 \(S_{\footnotesize\text{表}} = S_{\footnotesize\text{侧}} + S_{\footnotesize\text{底}}\)。
2. 侧面展开与表面积：圆柱、圆锥、圆台
圆柱侧面积：\(\color{#0284c7}{S_{\footnotesize\text{侧}} = 2\pi rh}\)
圆锥侧面积：\(\color{#d97706}{S_{\footnotesize\text{侧}} = \pi r \color{#ec4899}{l}}\)
圆台侧面积：\(\color{#059669}{S_{\footnotesize\text{侧}} = \pi(r_1+r_2)\color{#ec4899}{l}}\)
例 1（看一遍怎么写）
已知圆锥底面半径 \(r=2.4\)，垂直高度 \(h=3.2\)。求：① 侧面积与全面积；② 展开扇形圆心角；③ 底部拼接等底且高为 \(2\) 的圆柱，求组合体表面积。
① 母线 \(l=\sqrt{2.4^2+3.2^2}=4\)。侧面积 \(S_{\text{侧}}=\pi rl=9.6\pi\)，全面积 \(S_{\text{表}}=9.6\pi+5.76\pi=15.36\pi\)。
② 扇形圆心角 \(\theta=\frac{2.4}{4}\times360^\circ=216^\circ\)。
③ 只计外露表面：圆锥侧面、圆柱侧面和圆柱下底。公共底面不计。\(S=9.6\pi+2\pi\times2.4\times2+5.76\pi=24.96\pi\)。
自己试试：已知一个圆锥的底面半径为 \(3\)，高为 \(4\)，则该圆锥的侧面积是：
B。侧面积必须用母线斜长 \(l\)，绝不能把垂直高代入！由勾股定理，母线 \(l = \sqrt{3^2+4^2} = 5\)，代入得 \(S_{\footnotesize\text{侧}} = \pi rl = 15\pi\)。选 A 把垂直高当成了母线；选 C 算成了全面积。
3. 柱、锥、台的体积体系与通式
柱体：\(\color{#0284c7}{V = Sh}\)
锥体：\(\color{#d97706}{V = \dfrac{1}{3}Sh}\)
台体：
$$\color{#059669}{V = \frac{1}{3}h\left(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2\right)}$$例 2（台体体积求法）
正四棱台的上底边长 \(2\)，下底边长 \(4\)，高为 \(3\)。求棱台体积。
上底面积 \(S_1 = 2^2 = 4\)，下底面积 \(S_2 = 4^2 = 16\)，\(\sqrt{S_1S_2} = \sqrt{4 \times 16} = 8\)。
代入台体公式：\(V = \dfrac{1}{3} \times 3 \times (4 + 8 + 16) = 28\)。
自己试试：已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径相等，高也相等。若圆柱的体积为 \(18\pi\)，则圆锥的体积是：
C。等底等高的圆锥与圆柱体积之比为 \(1:3\)。\(V_{\footnotesize\text{锥}} = \dfrac{1}{3}V_{\footnotesize\text{柱}} = \dfrac{1}{3} \times 18\pi = 6\pi\)。选 B 是除以了 2；选 D 是乘了 3。
4. 球的表面积、体积与外接球思维链
球表面积：\(\color{#ec4899}{S = 4\pi R^2}\)
球体积：\(\color{#ec4899}{V = \dfrac{4}{3}\pi R^3}\)
墙角模型外接球：
$$\color{#0284c7}{2R = \sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$题目：在三棱锥 \(P-ABC\) 中，\(PA \perp PB\)，\(PB \perp PC\)，\(PC \perp PA\)，且 \(PA = 2, PB = 3, PC = 6\)。求三棱锥外接球的表面积与体积。
- 问柱、锥、台表面积或体积 → 先辨底面、侧面和高，选择对应通式。
- 空间图形能补成长方体或旋转体 → 想补形或展开，把复杂量转成对角线、母线或圆的量。
① 将三棱锥补成完整的长方体，两者的外接球完全重合。
② 长方体体对角线即外接球直径：
\(2R = \sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{2^2+3^2+6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7 \implies R = \dfrac{7}{2}\)。
③ 代入公式：
表面积 \(S = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 = 49\pi\)。
体积 \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \left(\dfrac{7}{2}\right)^3 = \dfrac{343}{6}\pi\)。
② 球体积公式的分母是 3（\(\frac{4}{3}\pi R^3\)），千万别漏乘前面的 4。
自己试试：两个球的半径分别为 \(5\) 和 \(2\)，大球体积与小球体积之比为：
A。体积比为半径比的立方：\(5^3:2^3=125:8\)。B 算成了表面积比，C 是半径比，D 颠倒了大球与小球的顺序。
5. 三大翻车现场与反例微图解
❌ 圆锥体积误算为 \(\frac{1}{3}\pi r^2 l\)，把斜长当成垂直高。
✔ 高线垂直：体积必须用空间垂直距离 \(h = \sqrt{l^2-r^2}\)。母线 \(l\) 只能用于侧面积 \(\pi rl\)！
❌ 两个几何体拼接在一起，直接把两个原本的表面积相加。
✔ 内部不可见：粘合面已经封在体内，不再属于表面！必须减去被盖住的面（若底面贴合需减去 \(2S_{\footnotesize\text{底}}\)）。
❌ 误写成 \(V = \frac{1}{3}h(S_1 + \frac{S_1+S_2}{2} + S_2)\)。
✔ 必须是几何平均：中间项是 \(\sqrt{S_1S_2}\)。由均值不等式，错用算术平均会导致体积严重偏大！
底面半径 \(r=3.6\)，母线 \(l=6\) 是斜边（决定侧面扇形面积），垂直高 \(h=4.8\) 是直角边（决定体积）。误把母线当高会使体积虚胖 25%！
立体几何表面积与体积联动实验室
切换不同模型，拖动滑块调节尺寸参数（或用键盘方向键微调），实时观察三维结构、展开图及面积与体积的动态数值变化：
从易到难排好了。
直接用
1. 已知一个球的表面积为 \(36\pi\)，则该球的体积为：
C。由球的表面积公式 \(S = 4\pi R^2 = 36\pi\)，解得 \(R^2 = 9\)，因为半径 \(R > 0\)，所以 \(R = 3\)。再代入球的体积公式：\(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi\)。
2. 一个圆台的上、下底面半径分别为 \(1\) 和 \(3\)，高为 \(3\)，则该圆台的体积为：
B。上底面积 \(S_1 = \pi \times 1^2 = \pi\)，下底面积 \(S_2 = \pi \times 3^2 = 9\pi\)。代入台体体积公式：
$$V = \frac{1}{3}h\left(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2\right) = \frac{1}{3}\times 3 \times (\pi + \sqrt{\pi \cdot 9\pi} + 9\pi) = \pi + 3\pi + 9\pi = 13\pi$$
易错
3. 某工件由一个底面半径为 \(1\)、高为 \(2\) 的圆柱和一个底面半径为 \(1\)、母线长为 \(2\) 的圆锥拼接而成（圆锥底面与圆柱上底面完全贴合）。则该工件的表面积为：
B。组合体表面积是外露在外部的所有面积之和，内部重合贴合的接触面绝不能算入表面积！
外露表面由三部分组成：
① 圆柱下底面：\(S_1 = \pi r^2 = \pi \times 1^2 = \pi\)；
② 圆柱侧面：\(S_2 = 2\pi r h = 2\pi \times 1 \times 2 = 4\pi\)；
③ 圆锥侧面：\(S_3 = \pi r l = \pi \times 1 \times 2 = 2\pi\)。
总表面积 \(S = S_1 + S_2 + S_3 = \pi + 4\pi + 2\pi = 7\pi\)。
易错警示：如果把圆柱全面积 \(6\pi\) 与圆锥全面积 \(3\pi\) 盲目相加得到 \(9\pi\)，就多算了贴合在内部的两个接触面。
4. 若一个圆锥的侧面展开图是一个半圆（圆心角为 \(180^\circ\)），且该半圆展开图的面积为 \(8\pi\)，则该圆锥的底面半径 \(r\) 和垂直高 \(h\) 分别为：
B。绝不能把展开扇形的母线长误认作圆锥的高！
展开扇形的半径是圆锥的母线长 \(l\)。半圆面积为 \(\dfrac{1}{2}\pi l^2 = 8\pi \implies l^2 = 16 \implies l = 4\)。
展开扇形的圆心角 \(\theta = \pi = 2\pi \times \dfrac{r}{l} \implies \dfrac{r}{4} = \dfrac{1}{2} \implies r = 2\)。
垂直高由勾股定理求得：\(h = \sqrt{l^2-r^2} = \sqrt{4^2-2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)。
5. 有两个等底等高的几何体，一个为底面是正方形的正四棱锥，一个为底面是圆的圆锥。现用平行于底面的平面在高度的中点处将它们同时截开，关于截得的下半部分台体体积，下列说法正确的是：
C。本题考查等底等高锥体体积本质与台体生成规律：
① 原正四棱锥与圆锥等底（底面积均为 \(S\)）且等高（均为 \(h\)），体积公式均为 \(V = \dfrac{1}{3}Sh\)，两锥体体积相等（两锥在任一等高处的截面面积由相似比可知均为 \(\left(\dfrac{y}{h}\right)^2 S\)，处处相等，亦契合祖暅原理）；
② 在高度中点处平行截开，截去的小棱锥和小圆锥与原锥体相似比均为 \(1:2\)，故截去的小锥体体积均为原体积的 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\)；
③ 剩余的棱台与圆台体积均为 \(1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\) 原锥体积。因此两台体体积完全相等，且均为原锥体积的 \(\dfrac{7}{8}\)。
挑战
6. 边长为 \(2\) 的正方体内部有一个内切球 \(O_1\)，外部有一个外接球 \(O_2\)。则内切球 \(O_1\) 与外接球 \(O_2\) 的表面积之比和体积之比分别为：
B。正方体边长为 \(a=2\)：
① 内切球切于 6 个面中心，其直径等于棱长：\(2R_1 = a = 2 \implies R_1 = 1\)；
② 外接球过正方体 8 个顶点，其直径等于正方体的体对角线：\(2R_2 = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = \sqrt{3}a = 2\sqrt{3} \implies R_2 = \sqrt{3}\)；
③ 表面积之比等于半径比的平方：\(\dfrac{S_1}{S_2} = \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1:3\)；
④ 体积之比等于半径比的立方：\(\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 = 1:3\sqrt{3}\)。
本节高考真题
共 74 道，含 9 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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先修回顾 · 初中数学
学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：
- 初中 · 29.3 弧长和扇形面积圆锥与圆台的侧面展开图是扇形与扇环，高中推导圆锥、圆台侧面积公式直接依赖初中弧长与扇形面积公式。
一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。