2008 年河北预赛 · 第 10 题

解答

取 $A=(0,0,0),B=(5,0,0),S=(u,v,w)$。$SA=4,SB\ge 7$ 给 $16+25-10u\ge 49$，所以 $u\le -4/5$，点 $S$ 到直线 $AB$ 的距离不超过 $\sqrt{16-16/25}=8\sqrt{6}/5$。点 $C$ 到该直线的距离不超过 $BC\le 6$。混合积或逐次底高公式于是给 $V\le (AB/6)(8\sqrt{6}/5)\cdot 6=8\sqrt{6}$。取 $S=(-4/5,8\sqrt{6}/5,0),C=(5,0,6)$，两垂轴分量互相垂直，且 $SB=7,SC=\sqrt{85}\ge 9,AC=\sqrt{61}\le 8,BC=6$，全部条件都满足并取到体积界。因此 $\boxed{V_{\max }=8\sqrt{6}}$。