2013 年天津预赛 · 第 13 题

解答

令 $A=0,B=u,C=v$，其中 $|u|=|v|=a,u\cdot v=a^2/2$；侧棱向量为 $w$，与底面垂直，长度 $h>0$。$D=v/2$，平面 $BD{C}_1$ 的两方向为 $v/2-u,v+w-u$。有 $\overrightarrow{A{B}_1}=u+w=(v+w-u)-2(v/2-u)$，所以方向与此面平行。$A$ 不在该面：若 $-u$ 是两方向的组合，先比较 $w$ 分量再比较 $v$ 分量便得矛盾。因此 $\boxed{A{B}_1\Vert \text{平面 }BD{C}_1}$。再与 $B{C}_1$ 方向点积，得到 $(u+w)\cdot (v+w-u)=h^2-a^2/2$，故两直线垂直恰当 $\boxed{A{A}_1/AB=1/\sqrt{2}}$。