2014 年山西预赛 · 第 2 题

解答

设直角顶点的三条互垂棱长为 $x,y,z>0$。六棱和给 $6=x+y+z+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}$。由每个二次根式不少于两数和除以 $\sqrt{2}$，得 $6\ge (1+\sqrt{2})(x+y+z)\ge 3(1+\sqrt{2})(xyz{)}^{1/3}$。因此 $V=xyz/6\le \boxed{\frac{4}{3}(\sqrt{2}-1{)}^3}$。取 $x=y=z=2/(1+\sqrt{2})$，所有不等式同时取等且六棱和确为六，所以这个上界就是最大值。