2009 年河北预赛 · 第 4 题

解答

取直径端点 $A=(0,0,0),B=(0,0,1)$，平面 $\pi :z=0$，球为 $x^2+y^2+(z-1/2{)}^2=1/4$。取 $E=(1,0,0),F=(1,1,0)$，则 $AE=EF=1$，三点成非退化等腰三角形。线段 $BE,BF$ 的另两个球面点分别为 $C=(1/2,0,1/2)$、$D=(1/3,1/3,2/3)$，延长这两段确分别到达 $E,F$。向量 $CD=(-1/6,1/3,1/6)$ 有非零水平与竖直分量，所以既不平行也不垂直 $AB$。另一方面，若取 $AE=AF$ 的等边例子，则两球面点同高，$CD$ 可垂直 $AB$。因此位置关系不能确定，选 $\boxed{\mathrm{D}}$。