2012 年河南预赛 · 第 7 题

解答

设三棱长排序为 $0<x\le y\le z$。对顶点表面最短路由三种基本展开比较，长度分别为 $\sqrt{(x+y{)}^2+z^2},\sqrt{(x+z{)}^2+y^2},\sqrt{(y+z{)}^2+x^2}$；排序说明第一式最小。因此 $(x+y{)}^2+z^2=36$。令 $q=(x+y{)}^2$，由 $xy\le q/4$ 得 $V\le q\sqrt{36-q}/4$。这个函数在 $q=24$ 取得全局最大；取 $x=y=\sqrt{6},z=2\sqrt{3}$，排序合法且最短展开长确为六。于是 $\boxed{V_{\max }=12\sqrt{3}}$。