2026 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 8 题

解答

两铁球球心必在柱轴上，且只能位于以容器中平面为零高度的 $z=\pm 1$。设铜球半径 $r$，球心到轴距离 $\rho$、高度 $z$。两相切距离相等给 $z=0$，并有 ${\rho }^2+1=(1+r{)}^2$。球处在柱内给 $r\le 1$，所以中心在中平面的铜球不能触及距它为二的上下盖；容器相切只能在侧壁，故 $\rho =1-r$。于是 $(1-r{)}^2=r^2+2r$，得 $r=1/4$。因此 $\boxed{V=4\pi r^3/3=\pi /48}$。