2012 年湖北预赛 · 第 7 题

解答

设长方体三条棱 $AB=x,BC=y,A{A}_1=z$，均为正数。 由两个面对角线条件，有

令 $t=y^2$，则 $0<t<1$，且 $x=\sqrt{1-t},z=\sqrt{2-t}$。 体积 $V=xyz>0$，故最大化 $V$ 等价于最大化

求导得 $f^{\prime }(t)=3t^2-6t+2$。此导数在 $(0,1)$ 内只有一个零点 $t_0=1-\sqrt{3}/3$，在 $(0,t_0)$ 为正，在 $(t_0,1)$ 为负。 所以体积在 $t=t_0$ 处取得唯一最大值。此时三棱均为正，确实构成长方体，且

因 $p$ 为长度，所求