2010 年河北预赛 · 第 8 题

解答

以 $A$ 为原点，底面为 $z=0$，竖棱为正 $z$ 轴。写 $M=(0,0,m),N=(u,v,0)$，则 $u^2+v^2+m^2=4$，中点 $P=(u/2,v/2,m/2)$ 满足 $x^2+y^2+z^2=1,z\ge 0$，水平极角在底面两边围成的六十度内。反之，该球面片上任一点可取 $M=(0,0,2z),N=(2x,2y,0)$；有 $2z\le 2<3$，且 $AN\le 2$，小于从 $A$ 到 $BC$ 的距离 $3\sqrt{3}/2$，所以 $N$ 确在底面三角形内。因此轨迹恰为该球面片，与三共顶点面围成上半单位球的六分之一，体积为 $\boxed{\pi /9}$。