2009 年山西预赛 · 第 4 题

解答

记 $x=DA,y=DB,z=DC$。因三夹角均六十度，面积条件给 $xy=2,yz=8/\sqrt{3},zx=4/\sqrt{3}$，从而 $xyz=8/\sqrt{3}$。三条单位方向可取 $(1,0,0),(1/2,\sqrt{3}/2,0),(1/2,1/(2\sqrt{3}),\sqrt{2/3})$，其行列式绝对值为 $1/\sqrt{2}$。所以四面体体积为 $xyz/(6\sqrt{2})$，得到 $\boxed{V=2\sqrt{6}/9}$。