2018 年湖南预赛

解答

令矩形中心为 $O$，$A,C=O\pm u$，$B,D=O\pm v$，且 $|u|=|v|$。对任意空间点 $P$，都有 $P{A}^2+P{C}^2=2P{O}^2+2|u{|}^2=2P{O}^2+2|v{|}^2=P{B}^2+P{D}^2$。因此第一问是该式的平面特例，第二问推广到任意空间点仍成立。若按第一问证明第二问，也可先把 $P$ 垂投到矩形平面，每边增加的两个垂距平方恰相消。第三问可提出如下推广：对长方体任意空间点 $P$，四条体对角线端点的平方距离和相等，即 $\boxed{P{A}^2+P{C}_1^2=P{B}^2+P{D}_1^2=P{C}^2+P{A}_1^2=P{D}^2+P{B}_1^2}$。依次把第二问用于矩形 $AB{C}_1{D}_1,BC{D}_1{A}_1,CD{A}_1{B}_1$，就得到三处相等。若长方体三棱为 $a,b,c$、中心为 $O$，各和还统一等于 $2P{O}^2+(a^2+b^2+c^2)/2$。