垫脚石(此题 → 相关题) 2012 年河南预赛 第 7 题 · P010593
先练习从真实投影约束得到平方和预算并控制棱长乘积,再把长方体表面最短路的展开式作为新的平方和约束,加入另一层乘积优化。
前题投影固定了一条棱;后题给的是多个展开长度中的最小者,必须先排序选对展开式,并确认取等长方体仍满足该排序。
一个长方体的体对角线长为 ,这条对角线在长方体一个表面上的投影长为 ,则这个长方体体积的最大值为。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
体对角线与面投影先固定第三棱,余下两棱的平方和固定,乘积用基本不等式。
设投影面两棱为 ,第三棱为 。由 、 得 。因此体积 ,当 时取等。所以 。
投影长八是面对角线,并非某一条棱长。达到长方体的三棱均正,体对角线和给定投影也都吻合。
把空间投影先化成两棱平方和,剩下的体积最值就是固定平方和下的乘积界。
给定面投影是面对角线,先固定第三棱,再由两棱平方和定值求乘积最大并核正棱达到。
核心工具:作垂足,用勾股定理降维、均值不等式:拆项与配权
垫脚石(此题 → 相关题) 2012 年河南预赛 第 7 题 · P010593
先练习从真实投影约束得到平方和预算并控制棱长乘积,再把长方体表面最短路的展开式作为新的平方和约束,加入另一层乘积优化。
前题投影固定了一条棱;后题给的是多个展开长度中的最小者,必须先排序选对展开式,并确认取等长方体仍满足该排序。
已记下,谢谢!