2009 年河北预赛 · 第 8 题

解答

原四面体内切球半径为 $r_0=a\sqrt{6}/12$，中心为 $O$。设小球半径 $r$，与顶点 $V_i$ 相邻三面相切的球心可写成 $O_i=O+\lambda (V_i-O)$，于是 $r=r_0(1-\lambda )$。小球须全部在原体内，所以 $r\le r_0$，因而 $\lambda \ge 0$。同半径球切同三面时内部球心唯一，四颗不同小球分别对应四个顶角，球心距为 $\lambda a$。两两相切给 $\lambda a=2r$，故 $r=r_0(1-2r/a)$，解得 $\boxed{r=a(\sqrt{6}-1)/10}$。