培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第二册 · 第 8 章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
从线线垂直、线面垂直推进到面面垂直。牢牢抓住判定定理的“两条相交直线”红线，理清线面角（范围0°至90°）与二面角（可钝角）的本质差异与转化链条。
3D 舞台：线面垂直的判定、线面角与二面角在长方体里现场作图，角度长度实时现算 →
在建筑工地上，工人师傅准备竖立一根垂直于地面的水泥立柱 \(l\)。他拿一把直角尺紧贴地面，发现立柱与地面画出的某一条施工墨线 \(m\) 完全成 \(90^\circ\) 直角。先独立判断，选择后再用互动模型检验。
仅凭“立柱与地面上的这一条墨线垂直”，这根立柱就一定垂直于地面吗？
B。不一定垂直！
看上方的实验图：把墨线 \(m\) 当作转轴，立柱 \(l\) 绕着 \(m\) 向左或向右歪倒 \(25^\circ\) 时，它和墨线 \(m\) 之间始终保持 \(90^\circ\) 直角，但整根柱子已经明显斜着歪倒了！
要想让立柱稳稳垂直于地面（点上方第 3 个按钮），工人师傅必须在地面上画两条相交的墨线 \(m, n\)，使立柱与这两条相交线都垂直！这种从“线线垂直”迈向“线面垂直”，再到“面面垂直”的严密转化，就是本节要系统掌握的核心思想。
1. 先认识几个词
要用到：8.4 空间位置关系、8.5 空间平行、直角三角形与正射影。
判定要件：一条直线垂直于平面内两条相交直线（\(l \perp a, l \perp b, a \cap b = P\)）。
性质威力：若 \(l \perp \alpha\)，则它垂直于该平面内的任意一条直线！
线面角：相交斜线与正射影所成的锐角；含于面内或平行时规定为0°，垂直时为90°，总体范围 \([0^\circ, 90^\circ]\)。
本质定义：两平面相交所成的二面角为直二面角（平面角为 \(90^\circ\)）。
面面垂直的性质：在一个平面内垂直于两面交线的直线，垂直于另一个平面。
二面角范围：\([0^\circ, 180^\circ]\)（注意：二面角完全可以为钝角！）。
正射影与线面角：从平面外一点向平面引垂线，垂足叫正射影；斜线上所有点的正射影构成的直线叫斜线的射影。斜线和它在平面上的正射影所成的角叫做直线与平面所成的角，范围 \([0^\circ, 90^\circ]\)。
二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角，范围 \([0^\circ, 180^\circ]\)。
2. 线面垂直的判定与性质：线线垂直 ⇌ 线面垂直
例 1（鳖臑模型 · 看一遍怎么写）
例题舞台：在 3D 鳖臑上一步步作图，再求二面角 P-BC-A →
在三棱锥 \(P-ABC\) 中，\(PA \perp \text{底面 } ABC\)，底面满足 \(\angle ABC = 90^\circ\)（即 \(AB \perp BC\)）。证明：\(BC \perp PB\)。
① 因为 \(PA \perp \text{底面 } ABC\)，且 \(BC \subset \text{底面 } ABC\)，由线面垂直性质得 \(PA \perp BC\)，即 \(BC \perp PA\)。
② 又已知 \(BC \perp AB\)，且 \(PA \cap AB = A\)，由判定定理得 \(BC \perp \text{平面 } PAB\)。
③ 因为 \(PB \subset \text{平面 } PAB\)，由线面垂直性质，即证得 \(BC \perp PB\)。
自己试试：在上述三棱锥 \(P-ABC\)（\(PA \perp \text{底面 } ABC\)，\(\angle ABC = 90^\circ\)）中，它的 4 个面 \(\triangle ABC, \triangle PAB, \triangle PAC, \triangle PBC\) 中，直角三角形的个数是：
D。4 个面全都是直角三角形！
① 底面 \(\triangle ABC\)：已知 \(\angle ABC = 90^\circ\)；
② 侧面 \(\triangle PAB\)：\(PA \perp \text{底面 } ABC \implies PA \perp AB\)，\(\angle PAB = 90^\circ\)；
③ 侧面 \(\triangle PAC\)：同理 \(PA \perp AC\)，\(\angle PAC = 90^\circ\)；
④ 侧面 \(\triangle PBC\)：由例 1 已证 \(BC \perp PB\)，\(\angle PBC = 90^\circ\)。
《九章算术》称这种四个面全为直角三角形的四面体为“鳖臑”（biē nào），是立体几何中最基础、最高频的垂直模型。
3. 线面角：找垂足、连射影、解直角三角形
② 连射影：连接斜足与垂足，得到斜线在平面上的正射影；
③ 解直角三角形：斜线、垂线段、射影构成直角三角形，斜线与射影的夹角就是线面角 \(\theta\)，满足 \(\sin\theta = \dfrac{\text{垂线段长}}{\text{斜线段长}}\)。
例 2（长方体体对角线与底面线面角）
长方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 满足 \(AB=1,AD=2,AA_1=2\)。求体对角线 \(A_1C\) 与底面 \(ABCD\) 所成角的正切值 \(\tan\theta\)。
\(A_1A \perp \text{底面 } ABCD\)，垂足为 \(A\)。斜足为 \(C\)，所以 \(AC\) 是 \(A_1C\) 在底面的正射影，\(\angle A_1CA\) 即为所求线面角。在 \(\text{Rt}\triangle A_1AC\) 中，\(A_1A = 2\)，\(AC = \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\)，所以 \(\tan\theta = \dfrac{A_1A}{AC} = \dfrac{2}{\sqrt5} = \dfrac{2\sqrt5}{5}\)。
自己试试：在棱长为 \(1\) 的正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中，体对角线 \(A_1C\) 与侧面 \(BCC_1B_1\) 所成角的正弦值为：
A。体对角线长 \(A_1C = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}\)。
从 \(A_1\) 向侧面 \(BCC_1B_1\) 引垂线，垂足为 \(B_1\)（\(A_1B_1 \perp\) 侧面），垂线段长 \(A_1B_1 = 1\)。斜足为 \(C\)，射影为 \(B_1C\)。在 \(\text{Rt}\triangle A_1B_1C\) 中，线面角为 \(\angle A_1CB_1\)，正弦值为：
$$\sin\angle A_1CB_1 = \frac{A_1B_1}{A_1C} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
选 B 是算成了余弦值；选 D 误把面对角线当成了体对角线。
4. 面面垂直与三步思维链
题目：如图，平面 \(PAC \perp \text{平面 } ABC\)，\(\triangle PAC\) 是等边三角形，\(D\) 为 \(AC\) 的中点，底面 \(\triangle ABC\) 中 \(AB = BC\)。证明：① \(PD \perp \text{平面 } ABC\)；② 平面 \(PBD \perp \text{平面 } PAC\)。
- 要证直线垂直平面 → 先找平面内两条相交直线，并证明该直线分别垂直它们。
- 两个平面垂直且题目给交线 → 想面面垂直性质，把面内的垂线关系传到另一个平面。
① 证 \(PD \perp \text{平面 } ABC\)：
在面 \(PAC\) 内，因为 \(\triangle PAC\) 是等边三角形且 \(D\) 为 \(AC\) 中点，所以 \(PD \perp AC\)。
又因为平面 \(PAC \perp\) 平面 \(ABC\)，两平面交线为 \(AC\)，且 \(PD \subset\) 平面 \(PAC\)。
由面面垂直性质定理，直接得出 \(PD \perp \text{平面 } ABC\)！
② 证平面 \(PBD \perp \text{平面 } PAC\)：
底面 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = BC\)，\(D\) 是底边 \(AC\) 中点，所以 \(BD \perp AC\)。
由 ① 知 \(PD \perp \text{平面 } ABC\)，而 \(BD \subset\) 平面 \(ABC\)，所以 \(PD \perp BD\)，即 \(BD \perp PD\)。
因为 \(AC \cap PD = D\)，且 \(AC, PD \subset\) 平面 \(PAC\)，由线面垂直判定定理，得 \(BD \perp \text{平面 } PAC\)！
又 \(BD \subset\) 平面 \(PBD\)，由面面垂直判定定理，得 平面 \(PBD \perp \text{平面 } PAC\)。
② 要证面面垂直，首选在其中一个面内找一条线垂直于另一平面。
自己试试：已知平面 \(\alpha \perp \text{平面 } \beta\)，\(\alpha \cap \beta = l\)，直线 \(a \subset \alpha\)。若要得出 \(a \perp \beta\)，还需要补充的充要条件是：
D。面面垂直的性质定理明确要求：线必须垂直于交线，才能推出线面垂直。选 C 把面面垂直的性质误当成了“面内任意直线都垂直另一平面”，这是极高频的经典误区。
5. 二面角平面角的构造与计算
例 3（正四面体的二面角）
正四面体 \(P-ABC\) 的所有棱长都为 \(a\)，求二面角 \(P-AB-C\) 的平面角的余弦值 \(\cos\theta\)。
取棱 \(AB\) 的中点 \(D\)，连接 \(PD\) 和 \(CD\)。由等边三角形三线合一得 \(PD \perp AB\)，\(CD \perp AB\)。所以 \(\angle PDC\) 即为二面角 \(P-AB-C\) 的平面角 \(\theta\)。
在 \(\triangle PDC\) 中，\(PD = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)，\(CD = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)，\(PC = a\)。由余弦定理：
$$\cos\theta = \frac{PD^2+CD^2-PC^2}{2 \cdot PD \cdot CD} = \frac{\frac{3}{4}a^2+\frac{3}{4}a^2-a^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a} = \frac{1}{3}$$
自己试试：将边长为 \(2\) 的正方形 \(ABCD\) 沿对角线 \(AC\) 向上折起，使平面 \(ABC \perp \text{平面 } ADC\)（折成直二面角）。折起后线段 \(BD\) 的长度为：
A。设对角线交于点 \(O\)。在原正方形中，\(BO \perp AC\)，\(DO \perp AC\)，且 \(BO = DO = \sqrt{2}\)。折成直二面角后，\(\angle BOD = 90^\circ\) 就是二面角的平面角。在 \(\text{Rt}\triangle BOD\) 中：\(BD = \sqrt{BO^2+DO^2} = \sqrt{2+2} = 2\)。
6. 三大翻车现场与反例微图解
❌ 直线垂直于平面内两条平行线，就断定直线垂直于平面。
✔ 必须双轴锁死：两条平行线方向单一，直线依然可以左右晃动倾斜！必须是两条相交直线。
❌ \(\alpha \perp \beta\)，在 \(\alpha\) 内任取一条直线 \(a\)，直接写 \(a \perp \beta\)。
✔ 必须垂于交线：面内唯有垂直于交线的直线才垂直于另一面！平行或倾斜于交线的直线绝不垂直另一面。
❌ 在棱上两不同点分别作棱的垂线，把连线夹角当二面角。
✔ 同一点出发：二面角平面角必须以棱上的同一点为垂足作两条垂直射线；异点作垂线时须沿棱平移到同一点，才能构成平面角。
二面角平面角必须以棱上的同一点为顶点。两射线垂足错开时，方向夹角仍保持不变，但不能直接组成平面角；沿棱平移到同一点后即可构造。
再深一点（可以先跳过）
一个面积为 \(S\) 的平面多边形向平面 \(\alpha\) 作正射影。它所在平面逐渐倾斜时，射影面积 \(S'\) 怎样变化？取两平面的较小夹角 \(\theta\)，从一个小矩形开始推想；转到 \(90^\circ\) 时会怎样？
展开思路与核对
取 \(0^\circ\le\theta\le90^\circ\)。沿两平面交线方向的长度不变，面内垂直交线方向的长度缩为原来的 \(\cos\theta\) 倍，因此面积缩为 \(S'=S\cos\theta\)。把多边形分成三角形可得到同样结论；平面平行时 \(\theta=0\)，射影不改面积，垂直时射影退化到直线上，面积为 \(0\)。
空间垂直与二面角实验室
切换模块，动态拖动滑块或控制点，观察二面角的旋转开合、平面角结构以及线面射影直角三角形的动态变化：
从基础判定到高频易错辨析，逐题检测空间垂直与角度边界。
直接用
1. 设 \(l\) 是一条直线，\(\alpha\) 是一个平面。下列条件中，能够充分判定 \(l \perp \alpha\) 的是：
B。线面垂直判定定理的核心条件是垂直于平面内的“两条相交直线”。梯形的两底边互相平行，无数条平行线在方向上等价于一条线，直线可绕平行线倾斜而与平面不垂直。只有相交的两条直线才能唯一确定平面方向，从而锁定垂直。
2. 在正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中，体对角线 \(A_1C\) 与底面 \(ABCD\) 所成角的正切值 \(\tan\theta\) 等于：
A。设正方体棱长为 \(1\)。点 \(A_1\) 在底面 \(ABCD\) 上的正射影为点 \(A\)，所以斜线 \(A_1C\) 在底面上的正射影为对角线 \(AC\)。
在直角三角形 \(\triangle A_1AC\) 中，\(\angle A_1AC = 90^\circ\)，垂直高 \(A_1A = 1\)，射影长 \(AC = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\)。因此线面角的正切值 \(\tan\theta = \dfrac{A_1A}{AC} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)。
易错
3. 若平面 \(\alpha \perp \text{平面 } \beta\)，直线 \(m \subset \alpha\)，直线 \(n \subset \beta\)，则直线 \(m\) 与 \(n\) 的位置关系：
C。高频易错！“面面垂直”绝不等于“两个面内的任意两条直线互相垂直”！
反例与分类：设两平面的交线为 \(l\)。
① 若 \(m \parallel l\) 且 \(n \parallel l\)，则根据平行公理 \(m \parallel n\)（两直线可以互相平行）；
② 若 \(m \perp l\) 且垂足为 \(P\)，\(n\) 经过点 \(P\) 且不垂直 \(l\)，则 \(m\) 与 \(n\) 相交；
③ 若两条线不共面，则是异面直线（可垂直也可斜交）。
只有当面内直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，从而垂直于另一个平面内的任意直线。
4. 设 \(m, n\) 是两条不同的空间直线，\(\alpha, \beta\) 是两个不同的平面。下列命题中真命题是：
A。逐项辨析：
A. 正确：垂直于同一条直线的两个平面互相平行（线面垂直的重要推论）；
B. 错误：必须 \(m\) 垂直于两平面的交线，才能推得 \(m \perp \beta\)；
C. 错误：直线 \(m\) 可以在 \(\alpha\) 内，也可以与 \(\alpha\) 平行（\(m \parallel \alpha\)）；
D. 错误：直线 \(n\) 可以在平面 \(\alpha\) 内（由 \(m \perp \alpha\) 知 \(m\) 垂直于 \(\alpha\) 内任意直线，若 \(n \subset \alpha\) 同样有 \(m \perp n\)）。
挑战进阶
5. 在空间四边形 \(ABCD\) 中，已知对棱互相垂直，即 \(AB \perp CD\) 且 \(AC \perp BD\)。则另一对对棱 \(AD\) 与 \(BC\) 的位置关系是：
B。四面体对棱垂直的优美对称性质：若四面体的两对对棱互相垂直，则第三对对棱也必然互相垂直！
几何证明：过点 \(A\) 作底面 \(BCD\) 的垂线 \(AH \perp \text{面 } BCD\)，垂足为 \(H\)。
先处理垂足重合的边界：若H=D，则AD垂直底面BCD，直接有AD⊥BC。若H=B，则AB垂直底面；结合AC⊥BD得BD垂直平面ABC，故BD⊥BC，再结合AB⊥BC可得BC垂直平面ABD，故AD⊥BC。H=C时交换B、C同理。以下讨论H与B、C、D均不同的情形。
由 \(AH \perp CD\) 且已知 \(AB \perp CD\)，可知 \(CD \perp \text{面 } ABH\)，从而 \(CD \perp BH\)（\(H\) 在 \(\triangle BCD\) 边 \(CD\) 的高线上）。
同理，由 \(AC \perp BD\) 可推得 \(BD \perp CH\)（\(H\) 在边 \(BD\) 的高线上）。
因此垂足 \(H\) 是底面 \(\triangle BCD\) 的垂心！
由三角形垂心性质，必有连线 \(DH \perp BC\)。又 \(AH \perp BC\)，所以 \(BC \perp \text{面 } ADH\)，最终得到 \(AD \perp BC\)！
本节高考真题
共 53 道，含 26 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
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先修回顾 · 初中数学
学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：
- 初中 · 15.3 等腰三角形等腰三角形“三线合一”与勾股定理逆定理，是立体几何中先证线线垂直、再由判定定理证线面垂直与面面垂直的最常用工具。
一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。