选择性必修第一册 · 第 1 章空间向量与立体几何

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

建好空间直角坐标系，点和向量都写成三个数。求长度、夹角，判断垂直、平行，就变成按公式算这几个数。

3D 舞台：拖动点看坐标和七种对称点，两点间距离三步走，用数量积判垂直 →

飞船从起点向前走 2 米、向右走 3 米，再向上走 6 米。三个方向两两垂直。

终点离起点的直线距离是多少？先猜一猜。

1. 先认识几个词

要用到：1.2 空间向量基本定理（单位正交基底）；必修二 6.3 平面向量的坐标表示。

课本用词：建立空间直角坐标系要保证三轴两两垂直；坐标向量按终点减起点，平行判定不能在分量为零时乱用比例式。

伴读直觉微图解：空间右手直角坐标系、投影盒与正交数量积

空间直角坐标系 $O\text{-}xyz$：选一点 $O$ 当原点，过 $O$ 作三条两两垂直、单位长度相同的数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴。高中默认用右手系：右手四指从 $x$ 轴正向握向 $y$ 轴正向，大拇指指的就是 $z$ 轴正向。

例：教室的一个墙角当原点，地面上沿两面墙的墙根分别是 $x$ 轴、$y$ 轴，竖直向上的墙缝是 $z$ 轴。

单位正交基底 $\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$：沿 $x, y, z$ 轴正向、长度为 $1$ 的三个向量。它们两两垂直，所以 $\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j} = \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{k} = \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{i} = 0$，而 $\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i} = \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{j} = \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k} = 1$。

例：$\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{i} - \boldsymbol{j} + 3\boldsymbol{k}$，它的坐标就是 $(2, -1, 3)$。

投影点、对称点：对点 $P(x, y, z)$，

投影：在谁上面就留谁，别的变 $0$。投到 $xOy$ 面是 $(x, y, 0)$，投到 $x$ 轴是 $(x, 0, 0)$。
对称：关于谁对称谁不变，别的变相反数。关于 $xOy$ 面是 $(x, y, -z)$，关于 $z$ 轴是 $(-x, -y, z)$，关于原点是 $(-x, -y, -z)$。

例：$P(2, -3, 4)$ 投到 $xOy$ 面得 $(2, -3, 0)$；关于 $z$ 轴的对称点是 $(-2, 3, 4)$；关于原点的对称点是 $(-2, 3, -4)$。

本质区别点的坐标（绝对位置） vs 向量的坐标（相对位移）

点的坐标 $P(x,y,z)$：固定空间点相对于原点的位置；把这个点平移后，其坐标会改变。

向量坐标 $\overrightarrow{AB}$：终点减起点，表示位移增量。自由平移后向量坐标恒定不变！

提醒：只有当向量起点位于原点 $O$ 时，向量坐标才恰好等于终点坐标！

判定陷阱平行判定比例式 vs 实数倍充要式

分式比例式：$\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1}$ 仅在分母全不为 0 时有效，遇 0 分母直接崩溃！

实数倍充要式：当 $\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol0$ 时，$\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$（分量逐一对应），遇到 0 分量时对应分量必同为 0，不需要除以该分量。规定零向量与任意向量平行；若基准向量本身为零，须另行处理。

注意：有分量为 0 时不能写比例式，应写成方程组 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$。

向量坐标定义：$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = \color{#2563eb}{\text{终点}} - \color{#059669}{\text{起点}}$
数量积坐标公式：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \color{#2563eb}{x_1x_2} + \color{#059669}{y_1y_2} + \color{#d97706}{z_1z_2}$ （两向量非零时，垂直充要条件为该式 $= 0$）
空间两点距离公式：$d = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{\color{#2563eb}{(x_2-x_1)^2} + \color{#059669}{(y_2-y_1)^2} + \color{#d97706}{(z_2-z_1)^2}}$

2. 建系，写出点和向量的坐标

点的坐标：若 $\overrightarrow{OP} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$，就说点 $P$ 的坐标是 $(x, y, z)$，它表示一个确定的位置。向量的坐标：若 $\boldsymbol{a} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$，就记 $\boldsymbol{a} = (x, y, z)$；向量平移后坐标不变。

两者的联系：$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$，所以

$A(x_1, y_1, z_1)$，$B(x_2, y_2, z_2)$： $$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1,\ z_2 - z_1)$$ 终点减起点。

建系前先找三条两两垂直、交于一点的线（长方体、正方体的一个顶点处最常见），说明它们垂直，再标原点、方向和单位。

例 1（长方体里写坐标）

长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 4$，$AD = 2$，$AA_1 = 3$，$M$ 是棱 $C_1D_1$ 的中点。建立坐标系，写出 $C_1$、$M$ 的坐标和 $\overrightarrow{BM}$ 的坐标。

解：长方体的棱 $AB, AD, AA_1$ 交于 $A$ 且两两垂直。以 $A$ 为原点，$AB, AD, AA_1$ 方向分别为 $x, y, z$ 轴正向，单位长度为 $1$。

$B(4, 0, 0)$，$C_1(4, 2, 3)$，$D_1(0, 2, 3)$。

$M$ 是 $C_1D_1$ 中点，坐标取平均：$M\left(\dfrac{4+0}{2}, \dfrac{2+2}{2}, \dfrac{3+3}{2}\right) = (2, 2, 3)$。

终点减起点：$\overrightarrow{BM} = (2-4,\ 2-0,\ 3-0) = (-2, 2, 3)$。

自己试试：棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$，以 $D$ 为原点，$DA, DC, DD_1$ 为 $x, y, z$ 轴。$E$ 是棱 $BB_1$ 的中点，$\overrightarrow{D_1E}$ 的坐标是：

A。$B(2, 2, 0)$，$B_1(2, 2, 2)$，所以 $E(2, 2, 1)$；$D_1(0, 0, 2)$。

$\overrightarrow{D_1E} = (2-0,\ 2-0,\ 1-2) = (2, 2, -1)$。

常见算错：B 是用起点减终点，得到的是 $\overrightarrow{ED_1}$；C 是把点 $E$ 的坐标直接当成了向量坐标，只有起点在原点时才可以这样；D 是把减号写成了加号。

3. 坐标运算：加减、数乘、数量积

设 $\boldsymbol{a} = (x_1, y_1, z_1)$，$\boldsymbol{b} = (x_2, y_2, z_2)$，$\lambda \in \mathbf{R}$。加减和数乘都是逐个分量做：

$$\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b} = (x_1 \pm x_2,\ y_1 \pm y_2,\ z_1 \pm z_2)$$

$$\lambda\boldsymbol{a} = (\lambda x_1,\ \lambda y_1,\ \lambda z_1)$$

数量积为什么是“对应相乘再相加”：把 $\boldsymbol{a} = x_1\boldsymbol{i} + y_1\boldsymbol{j} + z_1\boldsymbol{k}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 展开相乘，共 9 项。$\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j}$ 这类交叉项都是 $0$，$\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i}$ 这类都是 $1$，只剩三项：

$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$$

注意：数量积的结果是一个数，不是向量。

例 2（坐标运算）

已知 $\boldsymbol{a} = (2, -1, 3)$，$\boldsymbol{b} = (1, 4, -2)$。求 (1) $2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}$；(2) $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$；(3) $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$。

解：

(1) $2\boldsymbol{a} = (4, -2, 6)$，$3\boldsymbol{b} = (3, 12, -6)$，

$$2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b} = (4-3,\ -2-12,\ 6-(-6)) = (1, -14, 12)$$

(2) $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 2\times 1 + (-1)\times 4 + 3\times(-2) = 2 - 4 - 6 = -8$。

(3) $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (3, 3, 1)$，$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (1, -5, 5)$，

$$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = 3 - 15 + 5 = -7$$

验算：它也等于 $|\boldsymbol{a}|^2 - |\boldsymbol{b}|^2 = 14 - 21 = -7$，两种算法一致。

自己试试：$\boldsymbol{a} = (1, -2, 3)$，$\boldsymbol{b} = (2, -1, -1)$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ 等于：

A。$1\times 2 + (-2)\times(-1) + 3\times(-1) = 2 + 2 - 3 = 1$。

常见算错：B 是把 $(-2)\times(-1)$ 算成了 $-2$，负负没得正；C 把三个乘积写成了向量，数量积是一个数；D 是把三项都当正数加了。

4. 模长、两点距离、夹角

模长就是“自己和自己的数量积”开根号，两点距离就是 $\overrightarrow{AB}$ 的模：

$$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}$$ $$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$

这和开头的题一样：长方体体对角线，用两次勾股定理就得到三个平方和。两个非零向量的夹角，用数量积除以两个模长：

$$\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}|}$$ $$= \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\,\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$$

两个非零向量：当 $0<\cos\theta<1$ 时为锐角，$-1<\cos\theta<0$ 时为钝角，$\cos\theta=0$ 时为直角；$\cos\theta=1$ 对应同向的 $0^\circ$，$\cos\theta=-1$ 对应反向的 $180^\circ$。

例 3（距离与夹角）

已知空间三点 $A(1, 1, 0)$、$B(0, 2, 1)$、$C(2, 0, 1)$。

(1) 求 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 的坐标；(2) 求 $|\overrightarrow{AB}|$ 和 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$；(3) 求 $\langle\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\rangle$；(4) 求 $B, C$ 两点间的距离。

解：

(1) 终点减起点：$\overrightarrow{AB} = (0 - 1, 2 - 1, 1 - 0) = (-1, 1, 1)$；$\overrightarrow{AC} = (2 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (1, -1, 1)$。

(2) $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$，同理 $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3}$；

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = (-1)\times 1 + 1\times(-1) + 1\times 1 = -1$。

(3) $$\cos\langle\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\rangle = \frac{-1}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}} = -\frac{1}{3}$$

余弦为负，夹角是钝角：$\langle\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\rangle = \pi - \arccos\dfrac{1}{3}$。

(4) $\overrightarrow{BC} = (2, -2, 0)$，$|BC| = \sqrt{4 + 4 + 0} = 2\sqrt{2}$。

自己试试：已知空间点 $A(2, 1, -1)$，$B(1, 3, 1)$，则 $|\overrightarrow{AB}|$ 等于：

A。$\overrightarrow{AB} = (1-2, 3-1, 1-(-1)) = (-1, 2, 2)$，$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$。

常见算错：C 是忘了开根号；B 是漏了竖坐标的变化，只算了前两个分量；竖坐标 $1-(-1)$ 算成 $0$ 也会得到 B。

5. 垂直与平行的坐标条件

夹角为直角 $\iff$ 余弦为 $0$ $\iff$ 数量积为 $0$；平行就是一个向量是另一个的倍数。设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 都不是零向量：

垂直：$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \iff x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$
平行：$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b} \iff$ 有实数 $\lambda$ 使 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$，即 $$x_2 = \lambda x_1,\quad y_2 = \lambda y_1,\quad z_2 = \lambda z_1$$

分量都不为 $0$ 时，平行也可以写成 $\dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{y_2}{y_1} = \dfrac{z_2}{z_1}$；有分量为 $0$ 时只能用 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$，不能除以 $0$。

例 4（由平行、垂直求参数）

已知 $\boldsymbol{a} = (2, -1, 3)$，$\boldsymbol{b} = (-4, 2, t)$。(1) 若 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$，求 $t$；(2) 若 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，求 $t$。(3) 另有 $\boldsymbol{c} = (1, 0, -2)$，$\boldsymbol{d} = (3, y, z)$，且 $\boldsymbol{c} \parallel \boldsymbol{d}$，求 $y, z$。

解：

(1) 设 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$：$-4 = 2\lambda$，$2 = -\lambda$，$t = 3\lambda$。前两式都给出 $\lambda = -2$，所以 $t = -6$。

(2) $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 2\times(-4) + (-1)\times 2 + 3t = -10 + 3t = 0$，所以 $t = \dfrac{10}{3}$。

(3) $\boldsymbol{c}$ 的 $y$ 分量是 $0$，不能写比例式。设 $\boldsymbol{d} = \lambda\boldsymbol{c}$：$3 = \lambda$，$y = 0\cdot\lambda = 0$，$z = -2\lambda = -6$。

自己试试：已知 $\boldsymbol{a} = (1, 2, -1)$，$\boldsymbol{b} = (m, 1, 4)$。若 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，则 $m$ 等于：

C。$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = m + 2 - 4 = m - 2 = 0$，所以 $m = 2$。

常见算错：A 是移项时符号弄反；D 是把 $2\times 1$ 也当成减项，得 $m - 6 = 0$。也有人把垂直和平行记混，去列比例式。

6. 三步破题思维链：空间向量坐标解题标准动作

👀 第一眼破题信号

① 看到三条两两垂直的棱（正方体、长方体可直接用；一般棱柱或棱锥还须另证选定三线两两垂直，不能只凭几何体名称或底面直角），或题目要求坐标、距离、夹角 → 想到建立空间直角坐标系。
② 三线交于一点且长度易标 → 想到以交点为原点、三棱为坐标轴，先标方向和单位长度再运算。

🔧 第二步套公式/方法

① 写出关键点坐标，遇中点用加和除以 2；
② 终点减起点求向量坐标：$\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)$；
③ 判定垂直算数量积 $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 = 0$；求夹角套余弦公式 $\cos\theta = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$；求距离套三维勾股公式。

🛡️ 第三步必查防坑结论

严格检查建系三轴是否两两垂直；向量坐标计算必须严格为终点减起点；判平行含 0 分量时绝不写除法比例式；异面直线夹角必取锐角或直角（$\cos\theta \ge 0$ 取绝对值）。

7. 三大翻车现场与反例辨析

翻车现场 1：终点减起点颠倒成起点减终点

❌ $A(1,2,3), B(4,0,5)$，误求 $\overrightarrow{AB} = (1-4, 2-0, 3-5) = (-3, 2, -2)$

✔ 终点减起点：$\overrightarrow{AB} = (4-1, 0-2, 5-3) = (3, -2, 2)$，减反方向完全相反！

翻车现场 2：未证三轴两两垂直便强行套公式

❌ 斜三棱柱棱间夹角 $60^\circ$，强行建系套模长公式 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

✔ 坐标公式成立的基础是单位正交基底（$\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j}=0$），非直角系必须走基底展开式

翻车现场 3：含 0 分量时强行写比例式导致分母为 0

❌ $\boldsymbol{a}=(1,0,2), \boldsymbol{b}=(2,0,4)$，写成 $\frac{2}{1} = \frac{0}{0} = \frac{4}{2}$ 出现 $0/0$ 无效分式

✔ 应设 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$，得 $2=1\lambda, 0=0\lambda, 4=2\lambda \implies \lambda=2$，严格判定平行

反例微图解：空间点坐标与向量坐标位移平移对比

左图A=(1,2,3)、B=(4,0,5)，两点的位置不同；位移AB=B−A=(3,−2,2)，不能误用B的坐标。右图将同一位移平移到原点O，V=(3,−2,2)。两段位移按同一投影、相同单位绘制，因此平行、同向且等长。

空间直角坐标系 3D 投影微实验室

使用统一的线性3D投影；向量a、b从原点出发，终点分别记为A、B。滑动调节或键盘方向键微调向量 $\boldsymbol{a}=(x_1, y_1, z_1)$ 与 $\boldsymbol{b}=(x_2, y_2, z_2)$ 的坐标分量，实时观察空间点投影虚线盒、模长、数量积与两向量空间夹角 $\theta$ 的动态代数推演：

显示空间坐标盒（线性投影保持同轴平行，不保持空间角度和长度）

向量 $\boldsymbol{a} = (x_1, y_1, z_1)$（绿色）

x₁ = 2

y₁ = 3

z₁ = 4

向量 $\boldsymbol{b} = (x_2, y_2, z_2)$（金色）

x₂ = -2

y₂ = 2

z₂ = 1

垂直判定：未垂直平行判定：不共线空间夹角 θ = 90.0°

模长 |a|

5.385

模长 |b|

3.000

数量积 a·b

终点距离 |AB|

5.100

计算推演区

从易到难排好了。紧扣空间向量坐标运算与 E1-01-B 关键边界。

直接用

1. 已知空间向量 $\boldsymbol{a} = (1, 2, -2)$，$\boldsymbol{b} = (-2, 0, 1)$，则向量 $2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 的模长等于：

A。先算坐标线性组合：$2\boldsymbol{a} = (2, 4, -4)$，$2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (2 + (-2), 4 + 0, -4 + 1) = (0, 4, -3)$。再利用模长公式：$|2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。注意模长不能直接把各向量模长相加。

2. 已知空间两点 $A(1, 2, 3)$、$B(3, -2, 1)$，点 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，则中点 $M$ 的坐标以及线段 $AB$ 的长度 $|AB|$ 分别为：

A。中点坐标为各对应坐标算术平均数：$M\left(\dfrac{1+3}{2}, \dfrac{2+(-2)}{2}, \dfrac{3+1}{2}\right) = (2, 0, 2)$。两点间距离为两点式向量模长：$|AB| = \sqrt{(3-1)^2 + (-2-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。

易错

3. 【边界 5：含 0 分量共线判定】已知空间向量 $\boldsymbol{a} = (2, 0, -4)$，$\boldsymbol{b} = (-1, y, z)$。若 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$，则实数对 $(y, z)$ 的值为：

A。根据空间向量平行的充要条件：存在实数 $\lambda$ 使得 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$。

即 $(-1, y, z) = \lambda(2, 0, -4) \implies -1 = 2\lambda \implies \lambda = -\dfrac{1}{2}$。

代入其余分量：$y = -\dfrac{1}{2}\times 0 = 0$，$z = -\dfrac{1}{2}\times(-4) = 2$。

警示：很多同学误以为分量含 0 时“不能平行”或“比例无意义”，其实分母为 0 只是提醒我们不能写成坐标相除，而必须严格用数乘方程 $\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$ 求解！

4. 【边界 1：直角坐标轴必须正交】在空间几何体中建立空间直角坐标系，下列选轴做法中合规且正确的是：

C。空间直角坐标系必须依赖“单位正交基底”（三条坐标轴必须两两垂直）。

长方体从同一顶点出发的三条棱两两互相垂直，符合建系条件；而正三棱柱底面是正三角形，$\angle BAC = 60^\circ \ne 90^\circ$；正四面体各面都是等边三角形，侧棱两两夹角也为 $60^\circ$；斜四棱柱的棱更不是直角。绝不能随意把斜棱当作坐标轴，建系前必须先证明轴的两两垂直！

5. 【边界 2：终点减起点与垂直判定】已知空间三点 $A(1, 0, 2)$、$B(2, 1, 3)$、$C(x, 2, 1)$。若向量 $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$，则实数 $x$ 的值为：

A。两点式向量必须用“终点坐标减去起点坐标”：

$\overrightarrow{AB} = (2-1, 1-0, 3-2) = (1, 1, 1)$；

$\overrightarrow{AC} = (x-1, 2-0, 1-2) = (x-1, 2, -1)$。

两非零向量垂直充要条件是数量积为 0：

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 1\times(x-1) + 1\times 2 + 1\times(-1) = x - 1 + 2 - 1 = x = 0$。

本题把某个向量反向只会让整个数量积变号，不改变“数量积为0”的条件，因此仍得x=0。向量坐标应按终点减起点；若只把部分分量符号改错或把常数项加错，才会改变方程。

挑战

6. 已知非零向量 $\boldsymbol{a} = (1, 1, 0)$，$\boldsymbol{b} = (0, 1, 1)$。若空间非零向量 $\boldsymbol{n} = (x, y, 1)$ 同时垂直于 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$，则向量 $\boldsymbol{n}$ 的模长 $|\boldsymbol{n}|$ 等于：

A。这正是立体几何中求“平面法向量”的经典代数方程组：

$\boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{a} \iff x\times 1 + y\times 1 + 1\times 0 = 0 \implies x + y = 0$；

$\boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b} \iff x\times 0 + y\times 1 + 1\times 1 = 0 \implies y + 1 = 0 \implies y = -1$。

解得 $y = -1$，代入得 $x = -y = 1$。因此公垂向量为 $\boldsymbol{n} = (1, -1, 1)$。

其模长为 $|\boldsymbol{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$。

本节高考真题

共 5 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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一试延伸

学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。

空间角与距离立体几何综合截面与折叠立体几何基础知识

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