同一骨架 2017 年安徽预赛 第 4 题 · P010549
把正八面体的六顶点放在三条互相垂直的轴上，面方程与体积拆分都由这个坐标模型直接读出；两题共用的是具体立体结构而非泛泛建系。
前题从边长定轴端点尺度，求相对平面间距；后题由互垂大圆得到轴端点，按八个互不重叠的直角小棱锥求体积。
培玉 · 一试
2011 年黑龙江预赛 · 第 11 题
F2选择题立体几何综合
已知球的半径为 ，球面上的三个大圆所在的平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体体积为多少？选项为 .
作答
标准答案：B
解析
思路
把互垂大圆平面化为坐标平面，六交点就是三条互垂直径的端点。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
三平面分别为坐标平面后，六点为 。所得正八面体分成八个以球心为顶点的小四面体，每个的三条互垂棱都长二，体积为 。所以 ，选 B。
复核
三平面都过球心，交线是三互垂轴；六点不重复，八个小四面体内部不重叠。求的是八面体体积，答案没有圆周率。
方法总结
三互垂大圆把球内接正八面体的顶点直接定位到三条坐标轴。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
三互垂大圆平面化为坐标平面，六点为三直径端点，八个正交小四面体体积直接求和。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：建直角坐标系解几何题、割补法求体积
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