选择性必修第一册 · 第 1 章空间向量与立体几何

1.4 空间向量的应用

将立体图形放置在空间直角坐标系中，平行与垂直被转化为向量的共线与数量积，点到平面的距离化为投影向量的模长，空间三大夹角更可通过法向量与方向向量的代数运算直接求解，免去繁杂的辅助线构造。

3D 舞台：看法向量、点到平面的距离、线面角和二面角怎样随长方体变化 →

求一个点到平面的距离，通常会先找垂线落在平面上的位置，也叫“垂足”。

改用空间向量法计算，还一定要在图上找出垂足吗？先猜一猜。

1. 先认识几个词

要用到：空间向量的坐标运算、数量积、模长、夹角（回看 1.3）。

课本用词：法向量必须取非零向量；求平面法向量时，要在平面内取两条不共线向量，不能只用一条线的条件。

伴读直觉微图解：法向量线面角、二面角与点面距离

直线的方向向量：和直线平行（或就在直线上）的非零向量 \(\boldsymbol{u}\)。一条直线的方向向量有无数个，彼此共线。

例：直线过 \(P(1,0,0)\) 和 \(Q(3,1,2)\)，\(\overrightarrow{PQ}=(2,1,2)\) 是它的一个方向向量；\((4,2,4)\)、\((-2,-1,-2)\) 也是。

平面的法向量：和平面垂直的非零向量 \(\boldsymbol{n}\)。平面里的任何向量 \(\boldsymbol{v}\) 都满足 \(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}=0\)。一个点加一个法向量，就定下一个平面。

例：\(xOy\) 平面的一个法向量是 \((0,0,1)\)。面里的向量 \((3,5,0)\)：\((3,5,0)\cdot(0,0,1)=0\)，确实垂直。

投影长度：向量 \(\boldsymbol{a}\) 在 \(\boldsymbol{n}\) 方向上“影子”的长，等于 \(\dfrac{|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}\)。

例：\(\boldsymbol{a}=(1,2,2)\)，\(\boldsymbol{n}=(0,0,1)\)，投影长度 \(\dfrac{|2|}{1}=2\)，正好是 \(\boldsymbol{a}\) 的“竖直高度”。

向量夹角和几何角不是一回事：两个向量的夹角在 \([0^\circ,180^\circ]\)；两条直线所成的角只取不大于 \(90^\circ\) 的那个。

例：\(\boldsymbol{u}=(1,0,0)\)，\(\boldsymbol{v}=(-1,1,0)\)，向量夹角是 \(135^\circ\)；但以它们为方向的两条直线所成角是 \(45^\circ\)。所以后面的公式里常有绝对值。

三角转换线面角（正弦） vs 线线角（余弦）

线线角：两直线所成的较小角 \(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，直接求余弦：\(\cos\theta = \frac{|\boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_2|}{|\boldsymbol{u}_1||\boldsymbol{u}_2|}\)。

线面角：法向量 \(\boldsymbol{n}\perp\alpha\)，直线与法向量的较小夹角与线面角互余，算出来恒为正弦值：\(\sin\theta = \frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}\)！

警惕：算得 \(\frac12\) 时，线面角是 \(30^\circ\)（因为 \(\sin 30^\circ=\frac12\)），绝非 \(60^\circ\)！

符号辨析二面角符号判定 vs 距离公式绝对值

二面角余弦：二面角可以是钝角（\(\cos\theta < 0\)），绝不可机械加绝对值！必须结合几何立体图开口钝锐判定符号。

点面距离：\(d = \frac{|\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}\)，空间距离为纯几何正长度，分子必须严格加绝对值！

技巧：二面角法向量同向内或同向外时互补；一内一外时相等。结合图形直观一眼定正负。

线面角正弦公式：\(\sin\theta = \dfrac{\color{#2563eb}{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}|}}{\color{#059669}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}}\) （\(\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]\)，互余求正弦）
二面角余弦公式：\(\cos\theta = \color{#dc2626}{\pm}\dfrac{\color{#2563eb}{\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2}}{\color{#059669}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}}\) （正负由图形开口钝锐决定）
点到平面距离公式：\(d = \dfrac{\color{#2563eb}{|\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}|}}{\color{#059669}{|\boldsymbol{n}|}}\) （\(A\) 为平面内任意已知点）

2. 求平面的法向量

法向量要和平面里每一个向量垂直。只要和面里两个不共线的向量都垂直就够了（两条相交直线定下一个平面）。于是设 \(\boldsymbol{n}=(x,y,z)\)，列两个数量积为 \(0\) 的方程。两个方程三个未知数，解出来是一串成比例的解，取其中一个非零的就行。

面内取两个不共线向量 \(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\)：\(\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}_1=0\\ \boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}_2=0\end{cases}\)，取一个非零解。

例 1（看一遍怎么写）

例题舞台：在 3D 正方体里求法向量，拖动倍数 k 看它伸缩、反向 →

在棱长为 \(2\) 的正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中，以 \(D\) 为坐标原点，射线 \(DA,DC,DD_1\) 分别为 \(x,y,z\) 轴的正半轴建立空间直角坐标系。求平面 \(A_1BD\) 的一个法向量。

\(\overrightarrow{DA_1}=(2,0,2)\)，\(\overrightarrow{DB}=(2,2,0)\)，两者不共线。设 \(\boldsymbol{n}=(x,y,z)\)：

\[\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DA_1}=2x+2z=0\\ \boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DB}=2x+2y=0\end{cases}\]

得 \(z=-x\)，\(y=-x\)。令 \(x=1\)（方程没逼 \(x=0\)，可以这么取），得 \(\boldsymbol{n}=(1,-1,-1)\)，\(|\boldsymbol{n}|=\sqrt3\)。

验算：\((1,-1,-1)\cdot(2,0,2)=0\)，\((1,-1,-1)\cdot(2,2,0)=0\)。✓

自己试试：平面内有两个向量 \(\boldsymbol{v}_1=(1,1,0)\)，\(\boldsymbol{v}_2=(0,1,1)\)。下面哪个是这个平面的法向量？

A。\(x+y=0\)，\(y+z=0\)。令 \(x=1\)，得 \(y=-1\)，\(z=1\)。

C 只和 \(\boldsymbol{v}_1\) 垂直（\(-1+1+0=0\)），和 \(\boldsymbol{v}_2\) 的数量积是 \(2\)：只验了一个方程就收手，是最常见的错。D 虽然满足两个方程，但法向量必须非零。

3. 用向量证平行与垂直

直线看方向向量 \(\boldsymbol{u}\)，平面看法向量 \(\boldsymbol{n}\)。“平行、垂直”就翻译成“共线、数量积为 \(0\)”：

线线平行：\(\boldsymbol{u}_1=\lambda\boldsymbol{u}_2\)，且两直线不重合；线线垂直：\(\boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_2=0\)。
线面平行：\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}=0\)，且直线不在面内；
线面垂直：\(\boldsymbol{u}=\lambda\boldsymbol{n}\)。
面面平行：\(\boldsymbol{n}_1=\lambda\boldsymbol{n}_2\)（且不重合）；面面垂直：\(\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2=0\)。

为什么线面平行是“数量积为 \(0\)”、线面垂直反而是“共线”？法向量本身就垂直于平面：直线和法向量垂直，就躺在平面的方向上；直线和法向量同向，就竖着穿过平面。

例 2

例题舞台：换几条直线，用法向量判断平行、垂直、在面内 →

接例 1，平面 \(A_1BD\) 的法向量 \(\boldsymbol{n}=(1,-1,-1)\)。证明：(1) \(CB_1\parallel\) 平面 \(A_1BD\)；(2) \(AC_1\perp\) 平面 \(A_1BD\)。

(1) \(\overrightarrow{CB_1}=(2,0,2)\)，\(\overrightarrow{CB_1}\cdot\boldsymbol{n}=2+0-2=0\)，所以 \(CB_1\) 和平面平行或在面内。再看点 \(C\)：\(\overrightarrow{DC}=(0,2,0)\)，\(\overrightarrow{DC}\cdot\boldsymbol{n}=-2\ne0\)，\(C\) 不在平面里。所以 \(CB_1\parallel\) 平面 \(A_1BD\)。

(2) \(\overrightarrow{AC_1}=(-2,2,2)=-2(1,-1,-1)=-2\boldsymbol{n}\)，方向向量和法向量共线，所以 \(AC_1\perp\) 平面 \(A_1BD\)。

自己试试：直线 \(l\) 的方向向量 \(\boldsymbol{u}=(2,-4,2)\)，平面 \(\alpha\) 的法向量 \(\boldsymbol{n}=(1,-2,1)\)。\(l\) 与 \(\alpha\) 的关系是？

B。\(\boldsymbol{u}=2\boldsymbol{n}\)，方向向量和法向量共线，直线垂直于平面。

选 A 的同学看到“两个向量平行”就写“线面平行”——可这里一个是法向量，和法向量平行恰好是垂直。线面平行要的是 \(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}=0\)，这里 \(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}=2+8+2=12\)。

4. 求点到平面的距离

详细解释与图示

设点为 \(P\)，平面为 \(\alpha\)，垂足为 \(H\)。向量法用到平面内任意已知点 \(A\) 和平面的非零法向量 \(\boldsymbol n\)。可回到第1步，展开“详细解释与图示”中的图，对照下面的说明。

向量法可以免去作垂线与找垂足。

在第1步图示的投影直角三角形中：无论垂足 \(H\) 落在平面的哪个角落甚至图形外部，由于法向量 \(\boldsymbol{n}\perp\alpha\) 且 \(PH\perp\alpha\)，\(\boldsymbol{n}\) 与垂线段 \(PH\) 必然平行。平面内任意已知点 \(A\) 与 \(P\) 构成的斜向量 \(\overrightarrow{AP}\)，往法向量 \(\boldsymbol{n}\) 上一投影，投影直角边长恰好恒等于垂线段长 \(d = |PH|\)！

几何的辅助线构图被彻底转化为向量数量积的代数运算。这一节我们就来系统掌握空间向量在平行与垂直判定、空间距离以及三大夹角（线线角、线面角、二面角）计算中的核心公式与解题程序。

不用找垂足。在平面里随便取一点 \(A\)，连出 \(\overrightarrow{AP}\)。垂线段 \(PH\) 和法向量同方向，所以 \(\overrightarrow{AP}\) 在 \(\boldsymbol{n}\) 方向上的投影长度就是 \(|PH|\)。

\[d=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}\]分子的绝对值不能漏：数量积可能是负的，距离不会。

例 3

例题舞台：面内任取一点，看投影长就是距离 →

求点 \(C_1\) 到平面 \(A_1BD\) 的距离。

面内取 \(D\)，\(\overrightarrow{DC_1}=(0,2,2)\)，\(\overrightarrow{DC_1}\cdot\boldsymbol{n}=0-2-2=-4\)。

\[d=\frac{|-4|}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}\]

换成面内的 \(B\) 来算：\(\overrightarrow{BC_1}=(-2,0,2)\)，\(\overrightarrow{BC_1}\cdot\boldsymbol{n}=-2-2=-4\)，结果一样。

自己试试：平面 \(\alpha\) 过点 \(A(1,0,0)\)，法向量 \(\boldsymbol{n}=(2,-1,2)\)。点 \(P(0,3,0)\) 到 \(\alpha\) 的距离是？

A。\(\overrightarrow{AP}=(-1,3,0)\)，\(\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}=-2-3+0=-5\)，\(|\boldsymbol{n}|=\sqrt{4+1+4}=3\)，\(d=\dfrac{|-5|}{3}=\dfrac53\)。

B 漏了绝对值；C 忘了除以 \(|\boldsymbol{n}|\)（\(\boldsymbol{n}\) 不是单位向量）；D 除成了 \(|\boldsymbol{n}|^2\)。

5. 求角：线线角、线面角、二面角

三种角都先算一个向量夹角的余弦 \(\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}\)，再翻译回要的几何角。翻译各不相同：

线线角 \(\theta\in[0^\circ,90^\circ]\)：直线所成角不超过 \(90^\circ\)，加绝对值： \[\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}\]
线面角 \(\theta\in[0^\circ,90^\circ]\)：法向量和平面垂直，直线与法向量所成的较小角（含0°与90°）和线面角加起来是 \(90^\circ\)，所以算出来的是正弦： \[\sin\theta=\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}\]
二面角 \(\theta\in[0^\circ,180^\circ]\)：它和两个法向量的夹角相等或互补，可能是钝角。先算 \(\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle\)，再看图判断二面角是锐角还是钝角，定正负号。
若题目问的是“两平面的夹角”，按定义取不大于 \(90^\circ\) 的那个，才直接加绝对值。

例 4

例题舞台：三种角一起算，二面角看图定正负 →

接例 1，\(E(2,1,2)\) 是棱 \(A_1B_1\) 的中点。求：(1) 直线 \(DE\) 与 \(A_1B\) 所成角的余弦；(2) 直线 \(DE\) 与平面 \(A_1BD\) 所成角的正弦；(3) 二面角 \(A_1-BD-C\) 的余弦。

(1) \(\overrightarrow{DE}=(2,1,2)\)，\(|\overrightarrow{DE}|=3\)；\(\overrightarrow{A_1B}=(0,2,-2)\)，\(|\overrightarrow{A_1B}|=2\sqrt2\)。\(\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{A_1B}=0+2-4=-2\)。

\[\cos\theta=\frac{|-2|}{3\times2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{6}\]

(2) \(\overrightarrow{DE}\cdot\boldsymbol{n}=2-1-2=-1\)。

\[\sin\theta=\frac{|-1|}{3\times\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{9}\]

(3) 平面 \(BDC\) 就是底面，法向量取 \(\boldsymbol{n}_0=(0,0,1)\)。\(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{n}_0=-1\)，

\[\cos\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{n}_0\rangle=\frac{-1}{\sqrt3\times1}=-\frac{\sqrt3}{3}\]

定正负：\(A_1\) 在 \(A\) 的正上方，\(A\) 和 \(C\) 在 \(BD\) 两侧。半平面 \(A_1BD\) 斜着“靠向”\(A\) 那一侧，和 \(C\) 那一侧的底面张开的角大于 \(90^\circ\)，是钝二面角。所以 \(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{3}\)。

若问的是二面角 \(A_1-BD-A\)，就是锐角，余弦为 \(\dfrac{\sqrt3}{3}\)。同一组法向量，问哪个二面角，答案的符号不同。

自己试试：直线 \(l\) 的方向向量 \(\boldsymbol{u}\) 与平面 \(\alpha\) 的法向量 \(\boldsymbol{n}\) 的夹角为 \(30^\circ\)。\(l\) 与 \(\alpha\) 所成的角是？

B。法向量垂直于平面，直线和法向量的夹角与线面角互余：\(90^\circ-30^\circ=60^\circ\)。用公式也一样：\(\sin\theta=|\cos30^\circ|=\dfrac{\sqrt3}{2}\)，\(\theta=60^\circ\)。

选 A 的同学把“和法向量的夹角”直接当成了线面角，也就是把公式里的 \(\sin\) 当成了 \(\cos\)。线面角不超过 \(90^\circ\)，C、D 不可能。

法向量朝向定二面角正负：两法向量同指二面角内部（或外部）时夹角与二面角互补；一内一外时夹角与二面角相等。仍需与几何直观核对开口。

6. 三步破题思维链：空间向量应用解题标准动作

👀 第一眼破题信号

① 看到线面角、二面角或点面距离，且有垂直、对称、中点结构 → 想到把几何关系坐标化或向量化。
② 目标涉及一条直线或一个平面 → 想到分别取方向向量或法向量，再计算角度和距离。

🔧 第二步套公式/方法

① 线面角：代入 \(\sin\theta = \frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}\) 求解正弦值，求角注意反解正弦；
② 二面角：代入 \(\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle\)，观察图形开口是锐角还是钝角，决定 \(\cos\theta\) 符号；
③ 点面距离：在目标平面内任选一点 \(A\)，代入射影公式 \(d = \frac{|\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}\)。

🛡️ 第三步必查防坑结论

线面角算出来是 \(\sin\theta\) 绝非 \(\cos\theta\)；二面角注意题目所求是钝二面角还是锐二面角，符号万万不可弄反；若用直线上任一点的点面距离计算线面距离，须先证线面平行；相交线面作为两个集合的距离为0。

7. 三大翻车现场与反例辨析

翻车现场 1：线面角误把计算结果当余弦

❌ 套公式求得 \(\frac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|} = \frac12\)，误答直线与平面所成角为 \(60^\circ\)

✔ 取直线与法向量的较小夹角互余，公式求出的是 \(\sin\theta = \frac12\)，真实线面角为 \(30^\circ\)

翻车现场 2：二面角机械全加绝对值丢失钝角负号

❌ 二面角 \(A_1-BD-C\) 明明是钝二面角，无脑加绝对值硬算出 \(\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

✔ 观察几何图形开口大于 \(90^\circ\)，余弦值必为负数，正确答案为 \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)

翻车现场 3：相交线面盲目套用点面距离公式

❌ 直线与平面相交，在直线上任取一点算点面距离得出正数，当作线面距离

✔ 点面距离公式对任意点和有效平面均适用。若用直线上任一点的点面距离代替线面距离，须先证线面平行；相交线面作为两个集合的距离为 0

反例微图解：线面角与法向量互余关系图解

直线与法向量夹角为 \(\varphi\)，线面角为 \(\theta\)。令 \(\psi=\min(\varphi,180^\circ-\varphi)\)。因为 \(\boldsymbol{n}\perp\alpha\)，\(\theta+\psi=90^\circ\)，所以 \(\sin\theta = |\cos\varphi|\)！

8. 从例题到考题：坐标系要自己建

例 1 是正方体，从一个顶点出发的三条棱天然两两垂直，原点和坐标轴都是现成的。考题里的几何体常常没有这样的顶点。选原点只看一件事：过这一点能不能找到三条两两垂直的直线，并且每一对垂直都说得出理由。

桥接例题

四棱锥 \(P-ABCD\) 的底面是边长为 \(2\) 的正方形，平面 \(PAD\perp\) 平面 \(ABCD\)，\(PA=PD=\sqrt5\)。求直线 \(PB\) 与平面 \(PCD\) 所成角的正弦值。

卡在哪里：从 \(A\) 出发，\(AB\perp AD\) 没问题，可 \(PA\) 是斜的，不垂直底面。四个顶点都是这样，没有现成的三条线。

看到什么信号：“平面 \(PAD\perp\) 平面 \(ABCD\)”要落到一条垂直于交线 \(AD\) 的直线上；\(PA=PD\) 正好给出等腰三角形的中线。

第一步怎么做：取 \(AD\) 中点 \(O\)，连接 \(PO\)，再取 \(BC\) 中点 \(E\)，连接 \(OE\)。先说清三条线为什么两两垂直，再写坐标。

完整解答：因为 \(PA=PD\)，\(O\) 是 \(AD\) 中点，所以 \(PO\perp AD\)。又平面 \(PAD\perp\) 平面 \(ABCD\)，交线为 \(AD\)，所以 \(PO\perp\) 平面 \(ABCD\)，于是 \(PO\perp OA\)，\(PO\perp OE\)。正方形中 \(OE\parallel AB\)，所以 \(OE\perp OA\)。

以 \(O\) 为原点，\(OA,OE,OP\) 为 \(x,y,z\) 轴正方向建系。\(OA=1\)，\(PO=\sqrt{5-1}=2\)，得 \(B(1,2,0)\)，\(C(-1,2,0)\)，\(D(-1,0,0)\)，\(P(0,0,2)\)。

\(\overrightarrow{PB}=(1,2,-2)\)，\(\overrightarrow{DC}=(0,2,0)\)，\(\overrightarrow{DP}=(1,0,2)\)。设平面 \(PCD\) 的法向量 \(\boldsymbol{n}=(x,y,z)\)，由 \(2y=0\)，\(x+2z=0\)，取 \(\boldsymbol{n}=(2,0,-1)\)。

\[\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{PB}||\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{3\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{15}.\]

建系先找垂直：等腰找中线，面面垂直找交线的垂线，菱形找对角线。三条线的垂直要先写出理由，再写坐标。

只写关键一步：直三棱柱 \(ABC-A_1B_1C_1\) 中，\(AB=AC\)，\(\angle BAC\) 不是直角，\(O,O_1\) 分别是 \(BC,B_1C_1\) 的中点。建系时应取哪三条两两垂直的直线？

只写关键一步：四棱锥 \(P-ABCD\) 的底面是菱形，\(AC\) 与 \(BD\) 交于 \(O\)，\(PO\perp\) 底面，\(AC=4\)，\(BD=2\)，\(PO=3\)。以 \(O\) 为原点，\(OA,OB,OP\) 为 \(x,y,z\) 轴正方向，\(PC\) 中点 \(M\) 的坐标是？

再深一点（可以先跳过）

设 \(A\in l\)，\(\boldsymbol e\) 是直线 \(l\) 的单位方向向量。怎样把 \(\vec{AP}\) 分成沿直线与垂直直线的两部分，再用勾股定理得到点到直线的距离？

展开思路与核对

点到直线的距离：\(A\) 在直线 \(l\) 上，\(\boldsymbol{e}\) 为单位方向向量，由勾股定理：\(d=\sqrt{|\overrightarrow{AP}|^2-(\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{e})^2}\)。

沿线分量为 \((\vec{AP}\cdot\boldsymbol e)\boldsymbol e\)，其模平方为 \((\vec{AP}\cdot\boldsymbol e)^2\)。从 \(|\vec{AP}|^2\) 减去它，所得为垂直分量模的平方；\(P\) 在线上时结果也为零。

立体几何向量法综合模拟器

切换不同模式，动态拖动滑块，直观剖析点面投影距离、线面互余原理与二面角正负号辨析：

点 \(P\) 的竖直高度 \(h = \) 2.5 横向偏移 \(x = \) 0.5

切换平面内参考点 \(A\)：

线面角 \(\theta = \) 30° 方向向量整体取反 −u（验证绝对值）

二面角开合角度 \(\theta = \) 120° 法向量设定：两法向量均朝外侧 n₁朝外、n₂朝内

题型涵盖空间距离、线面角计算及高频符号易错辨析。

直接用

1. 在棱长为 1 的正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中，以 \(D\) 为原点，射线 \(DA\)、\(DC\)、\(DD_1\) 分别为 \(x\)、\(y\)、\(z\) 轴的正半轴建立空间直角坐标系。平面 \(A_1BD\) 的一个法向量为 \(\boldsymbol{n} = (1, -1, -1)\)。则点 \(C_1(0, 1, 1)\) 到平面 \(A_1BD\) 的距离 \(d\) 为：

A。按所给三条棱建轴，\(A_1(1,0,1)\)、\(B(1,1,0)\)、\(C_1(0,1,1)\)。平面 \(A_1BD\) 经过点 \(D(0,0,0)\)，所以 \(\overrightarrow{DC_1}=(0,1,1)\)；\(DC_1\) 是边长为 1 的侧面上的对角线，长为 \(\sqrt2\)。

计算数量积：\(\overrightarrow{DC_1}\cdot\boldsymbol{n} = 0\times 1 + 1\times(-1) + 1\times(-1) = -2\)。

法向量模长：\(|\boldsymbol{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}\)。

套用点面距离公式：\(d = \dfrac{|\overrightarrow{DC_1}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} = \dfrac{|-2|}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)。

2. 已知直线 \(l\) 的方向向量为 \(\boldsymbol{u} = (0, 1, 1)\)，平面 \(\alpha\) 的法向量为 \(\boldsymbol{n} = (1, 1, 0)\)。则直线 \(l\) 与平面 \(\alpha\) 所成角 \(\theta\) 的大小为：

B。套用线面角正弦公式：

\(\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n} = 0\times 1 + 1\times 1 + 1\times 0 = 1\)。

\(|\boldsymbol{u}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)，\(|\boldsymbol{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\)。

因此 \(\sin\theta = \dfrac{|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\)。

因线面角 \(\theta \in [0, 90^\circ]\)，所以 \(\theta = 30^\circ\)。千万不要误将结果当作 \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) 而误选 \(60^\circ\)！

易错

3. 某几何体中，观察直观图可知二面角 \(\alpha-l-\beta\) 是一个钝二面角。若求得平面 \(\alpha\) 的法向量为 \(\boldsymbol{n}_1 = (1, 2, 2)\)，平面 \(\beta\) 的法向量为 \(\boldsymbol{n}_2 = (2, -1, 2)\)，则该二面角的余弦值 \(\cos\theta\) 为：

C。高频命题陷阱！绝不能机械取绝对值！

计算法向量夹角余弦值：

\(\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2 = 1\times 2 + 2\times(-1) + 2\times 2 = 2 - 2 + 4 = 4\)。

\(|\boldsymbol{n}_1| = \sqrt{1+4+4} = 3\)，\(|\boldsymbol{n}_2| = \sqrt{4+1+4} = 3\)。

\(\cos\langle\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\rangle = \dfrac{4}{3\times 3} = \dfrac{4}{9}\)。

因为题目已明确指明该二面角为钝二面角，其余弦值必为负值！故 \(\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\)。若盲目填 \(\dfrac{4}{9}\)，则直接把钝角误判为锐角。

4. 在空间直角坐标系中求平面 \(\alpha\) 的法向量 \(\boldsymbol{n} = (x, y, z)\)，已知平面内有两个不共线向量 \(\boldsymbol{a} = (1, 0, 0)\) 和 \(\boldsymbol{b} = (0, 1, 2)\)。某同学解方程组时直接写“令 \(x = 1\)”，这种解法的问题在于：

D。专题卡 E1-01-B 严格明确：某一分量可否设为 1 由方程决定，不能无条件指定！

由 \(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{a} = 1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0 \implies x = 0\)。

此平面的法向量在 \(x\) 轴上的分量必须严格等于 0！若盲目强行令 \(x = 1\)，立刻出现 \(1 = 0\) 的逻辑矛盾。正确做法是令 \(z = 1\)，由 \(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{b} = y + 2z = 0\) 解得 \(y = -2\)，得到法向量 \(\boldsymbol{n} = (0, -2, 1)\)。

5. 点 \(P(0, 0, 2)\)，平面 \(\alpha\) 经过点 \(A(1, 1, 3)\)，平面 \(\alpha\) 的法向量为 \(\boldsymbol{n} = (1, 1, 1)\)。若某同学在计算点 \(P\) 到平面 \(\alpha\) 的距离时，公式中漏写了绝对值符号：\(d = \dfrac{\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{n}|}\)，他算得的错误结果是：

A。\(\overrightarrow{AP} = (0-1, 0-1, 2-3) = (-1, -1, -1)\)。

\(\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n} = (-1)\times 1 + (-1)\times 1 + (-1)\times 1 = -3\)。

\(|\boldsymbol{n}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}\)。

若漏写分子绝对值，算得 \(d = \dfrac{-3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} < 0\)。距离作为几何长度必须是非负数！

正确的点面距离必加绝对值：\(d = \dfrac{|\overrightarrow{AP}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} = \dfrac{|-3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\)。

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空间角与距离立体几何综合截面与折叠

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