2008 年湖南预赛 · 第 6 题

解答

设球心为 $O$。由弦中点垂径，$OM=\sqrt{16-7}=3,ON=\sqrt{16-12}=2$。两中点可在各自半径的同心球面任意运动，所以 $1\le MN\le 5$，同向与反向共线分别达到两端，命题（3）（4）都真。命题（1）可取 $N=(2,0,0),M=(2,\sqrt{5},0)$，$NM\perp ON$ 且 $NM=\sqrt{5}<2\sqrt{3}$，所以长 $4\sqrt{3}$ 的弦 $CD$ 确能经过 $M$；再过 $M$ 取垂直 $OM$ 的弦 $AB$ 即成，命题真。命题（2）若成立，$N$ 在 $AB$ 上，则 $ON\ge OM=3$，与 $ON=2$ 矛盾。因此真命题为 $\boxed{(1)(3)(4)}$，选 A。