2014 年天津预赛 · 第 14 题

解答

以 $O$ 为原点，平面 $ABC$ 到它的距离记为 $h>0$，取该平面为 $z=h$。由于 $OA=OB=OC=4$，三点在半径 $\sqrt{16-h^2}$ 的圆上，故面积不超过 $3\sqrt{3}(16-h^2)/4$，等号为正三角形。又 $OD=1$，点 $D$ 到基面高不超过 $h+1$。所以 $V\le \sqrt{3}(16-h^2)(h+1)/4$，$0<h<4$。导数符号由 $16-2h-3h^2$ 决定，唯一正零点为二，得到上界 $9\sqrt{3}$。取基面 $z=2$、圆半径 $2\sqrt{3}$ 的正三角形，并取 $D=(0,0,-1)$，即可同时取等。原点位于顶点到基面中心的内部线段上，确在四面体内部。因此 $\boxed{V_{\max }=9\sqrt{3}}$。