2018 年辽宁预赛 · 第 9 题

解答

令 $t=x/y>0$，原式约去 $y^2>0$ 后得 $y=(4t-5)/(t^3+1)$，正性还给 $t>5/4$。因为 $t^3+1-3(4t-5)=t^3-12t+16=(t-2{)}^2(t+4)\ge 0$，故 $y\le 1/3$。当 $t=2$ 时，取 $y=1/3,x=2/3$ 满足原式，故最大值为 $\boxed{1/3}$。