导数的应用 · 学习路线

先解导数为零的方程，筛掉区间外的根，再把两个端点加入候选。

$f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$。在 $(0,2)$ 上导数为负，在 $(2,3)$ 上为正，故内部驻点 $x=2$ 是极小值点。函数在 $[0,3]$ 连续，全部最值候选为 $0,2,3$。分别有 $f(0)=0$、$f(2)=-16$、$f(3)=-9$，因此最大值为 $0$，在 $x=0$ 取得。导数的另一个零点 $-2$ 不在给定区间内。

全局最值必须比较合法端点与全部内部驻点；局部极小值不会自动成为最大值。

先看 $a\le 0$ 是否可能。对 $a>0$，导数零点在定义域内，判断它给出的最大值是否严格为负。

令 $g_a(x)=\ln x-ax$，定义域为 $(0,+\infty )$。若 $a\le 0$，取 $x=e$ 即得 $g_a(e)=1-ae\ge 1>0$，故不合要求。若 $a>0$，则 $g_a^{\prime }(x)=1/x-a$ 在 $(0,1/a)$ 为正、在 $(1/a,+\infty )$ 为负，故全局最大值在 $x=1/a$ 取得，等于 $-\ln a-1$。全域严格小于零当且仅当 $-\ln a-1<0$，即 $a>1/e$。在临界参数 $a=1/e$，最大值 $0$ 确实于 $x=e$ 取得，故必须排除。两侧边界极限均为 $-\infty$（此处 $a>0$），不会产生遗漏的更大值。

参数的必要界还要回代；最大值可达时，严格不等式会排除临界参数。

写成 $x^3(x+a)$。若 $a\ne 0$，在 $|x|<|a|/2$ 内，$x+a$ 的符号是否改变？

$h_a(0)=0$。当 $a=0$，对任意 $x\ne 0$ 都有 $h_0(x)=x^4>0$，故零点是严格局部极小值点。当 $a\ne 0$，在 $0<|x|<|a|/2$ 内，$x+a$ 与 $a$ 同号，而 $x^3$ 随 $x$ 穿过零点而变号。因此任意足够小的双侧邻域内，$h_a(x)=x^3(x+a)$ 都既有正值又有负值，零点不是局部极值点。综上只有 $a=0$。虽然对所有 $a$ 都有 $h_a^{\prime }(0)=h_a^{\prime \prime }(0)=0$，这些等式不能代替符号检验。

驻点与二阶导数退化只提供线索；局部极值必须由邻域内的实际符号或导数变号确认。

先观察固定解，再对差函数求导。最大值的符号如何随参数变化？最大值等于零时有几个不同的根？

设 $F_a(x)=\ln x-a(x-1)$，注意 $x=1$ 对任何 $a$ 都是解。若 $a\le 0$，则 $F_a^{\prime }(x)=1/x-a>0$，函数严格递增，因已有根 $1$，恰有一个根。若 $a>0$，函数先在 $(0,1/a)$ 严格递增，再在 $(1/a,+\infty )$ 严格递减；两端极限都为 $-\infty$。唯一最大值为 $M(a)=F_a(1/a)=a-1-\ln a$。由 $M^{\prime }(a)=1-1/a$，$M$ 在 $(0,1)$ 递减、在 $(1,+\infty )$ 递增，且 $M(1)=0$，所以 $a\ne 1$ 时 $M(a)>0$。连续性、两端极限及每支严格单调保证此时两支各有且仅有一个零点。$a=1$ 时最大值为零，仅在 $x=1$ 有一个不同的根。因此参数集合为 $(0,1)\cup (1,+\infty )$。

不同根的个数来自每条单调分支的值域；合并到极值点的两根只能算一个。