2016 年河南预赛 · 第 4 题

解答

设导数两根为 $0<r<s<2$，则 $b=-(r+s),c=rs$。目标 $c^2+2bc+4c=rs[rs-2(r+s)+4]=r(2-r)s(2-s)$。每个因子严格正且不超过一，而两个不同根不能同时为一，所以目标属于 $(0,1)$。反过来，取 $r=1-t,s=1+t$，$0<t<1$，目标成为 $(1-t^2{)}^2$，恰取遍整个 $(0,1)$；这时导数确有两个不同内部根。故范围为 $\boxed{(0,1)}$。