2025 年中科大少年班入围考 · 第 12 题

解答

所有窗口并集是 $[-2,3]$。令 $v=x^2\in [0,9]$，则 $f=v^2-5v+4$，该凸二次式在此区间最大为四十，且 $x=3$ 时取得。因此 $\max g=40$，由 $t=2$ 实现。另一方面，若 $-2\le t\le -1$，窗口含负一；若 $-1\le t\le 1$，左端本身满足 $f(t)\ge 0$；若 $1\le t\le 2$，窗口含二。故每个窗口都有非负函数值，$g(t)\ge 0$。取 $t=1$，整个 $[1,2]$ 上 $f\le 0$ 且端点为零，故 $\min g=0$。所求差为 $\boxed{40}$。