5.2 导数的运算

导函数：每个 \(x\) 处的导数 \(f'(x)\) 本身又是 \(x\) 的函数，叫导函数，简称导数。求出导函数后，任意点的切线斜率代入即得。

例：\(f(x)=x^2\)，算得 \(f'(x)=2x\)。于是 \(f'(3)=6, f'(-1)=-2\)，无需每个点重做极限。

指数形式幂改写：幂函数求导法则只适用于 \(x^\alpha\) 标准形式，运算前需先化简改写。

例：\(\dfrac1x=x^{-1}\)，\(\sqrt x=x^{\frac12}\)，\(\dfrac{1}{\sqrt x}=x^{-\frac12}\)，\(x^2\sqrt x=x^{\frac52}\)。

内层与外层：\(y=\sin(3x+1)\) 包含两步：先算 \(u=3x+1\)（内层），再算 \(y=\sin u\)（外层）。本节重点处理内层为一次式 \(ax+b\) 的情形。

例：\(e^{2x-5}\) 的内层是 \(2x-5\)（\(a=2\)），外层是 \(e^u\)；\(\ln(4-x)\) 的内层是 \(4-x\)（\(a=-1\)），外层是 \(\ln u\)。

例 1（看一遍怎么写）

求导：① \(y=\dfrac{1}{x^3}\)；② \(y=x\sqrt x\)；③ \(y=2^x\)；④ \(y=\log_3 x\)；⑤ \(f(x)=\sin x\)，求 \(f'\!\left(\dfrac\pi3\right)\)。

① 改写 \(y=x^{-3}\)，\(y'=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}\)。

② 改写 \(y=x^{\frac32}\)，\(y'=\dfrac32x^{\frac12}=\dfrac32\sqrt x\)。

③ \(y'=2^x\ln2\)（\(\ln2\) 是常数，不能丢）。

④ \(y'=\dfrac{1}{x\ln3}\)（\(x>0\)）。

⑤ \(f'(x)=\cos x\)，\(f'\!\left(\dfrac\pi3\right)=\cos\dfrac\pi3=\dfrac12\)。

例 2（四则运算与切线结合）

求导：① \(y=x^3-2x+1\)；② \(y=x\ln x\)；③ \(y=\dfrac{e^x}{x}\)；④ 求曲线 \(y=x\ln x\) 在点 \((1,0)\) 处的切线方程。

① 逐项求导：\(y'=3x^2-2\)。

② 积的法则：\(y'=(x)'\ln x+x(\ln x)'=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1\)（\(x>0\)）。

③ 商的法则：\(y'=\dfrac{(e^x)'x-e^x(x)'}{x^2}=\dfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot1}{x^2}=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\)（\(x\ne0\)）。

④ 切点是 \((1,0)\)，切线斜率 \(k=y'|_{x=1}=\ln1+1=1\)。点斜式：\(y-0=1\cdot(x-1)\)，即 \(y=x-1\)。

例 3

求导：① \(y=e^{3x-1}\)；② \(y=\cos\left(2x+\dfrac\pi3\right)\)；③ \(y=\ln(1-2x)\)；④ \(y=(2x+1)^3\)。

① \(a=3\)：\(y'=3e^{3x-1}\)。

② \(a=2\)，外层 \((\cos u)'=-\sin u\)：\(y'=-2\sin\left(2x+\dfrac\pi3\right)\)。

③ 定义域 \(1-2x>0 \implies x<\dfrac12\)。\(a=-2\)：\(y'=-2\cdot\dfrac{1}{1-2x}=\dfrac{2}{2x-1}\)。

④ \(a=2\)，外层 \((u^3)'=3u^2\)：\(y'=2\cdot3(2x+1)^2=6(2x+1)^2\)。