2012 年辽宁预赛 · 第 11 题

解答

设 $P=(t,e^t)$、$Q=(s,\ln s)$，其中 $t\in \mathbb{R},s>0$。由 $e^t-t\ge 1$ 和 $s-\ln s\ge 1$，有 $(e^t-\ln s)-(t-s)\ge 2$。Cauchy给该线性投影的绝对值不超过 $\sqrt{2}|PQ|$，所以 $|PQ|\ge \sqrt{2}$。取 $P=(0,1),Q=(1,0)$，投影界和长度界同时取等。因此最小值为 $\boxed{\sqrt{2}}$。