2018 年河南预赛 · 第 10 题

解答

令 $X=x-1,Y=y$，方程成为 $17X^2-16XY+4Y^2=4$。一次项已消失，因此中心为 $\boxed{(1,0)}$。其对称矩阵为 $Q=\left(\begin{array}{cc}17& -8\\ -8& 4\end{array}\right)$，特征方程为 ${\lambda }^2-21\lambda +4=0$，根为 $(21\pm 5\sqrt{17})/2$，均严格正且不同。特征方向 $(1,k)$ 满足 $k=(17-\lambda )/8$。在这两个互相垂直的方向作正交坐标变换，二次型化为两个不同正系数的平方和，故主轴就是 $\boxed{y=\frac{13+5\sqrt{17}}{16}(x-1),y=\frac{13-5\sqrt{17}}{16}(x-1)}$。