2008 年山西预赛 · 第 7 题

解答

由半轴长度为正及等比关系，$b^2=ac$。若 $b\ge a$，令 $t=b/a\ge 1$，则 $c^2=b^2-a^2$ 与 $c/a=t^2$ 给 $t^4=t^2-1$，不可能成立。因此 $a>b$，有 $c^2=a^2-b^2$。除以 $a^2$ 并记 $e=c/a$，得到 $e^2+e-1=0$。取 $0<e<1$ 的根，得 $\boxed{e=(\sqrt{5}-1)/2}$。