2010 年山西预赛 · 第 4 题

解答

因为 $C=(0,-1)$ 是 $B$ 在纵轴上的投影，$AC=b+1$，且 $BC=AC$。由勾股定理，$A{B}^2=2(b+1{)}^2=18$，所以 $b=2$，$B=(\pm 3,-1)$。代入椭圆得 $9/a^2+1/4=1$，所以 $a^2=12,c^2=a^2-b^2=8$。所求焦距为 $\boxed{2c=4\sqrt{2}}$。