2012 年天津预赛 · 第 4 题

解答

设 $A=(\alpha ,0),B=(\beta ,0)$，$\alpha <\beta$。对其余椭圆点 $P=(x,y)$，题设给 $y^2/((x-\alpha )(x-\beta ))=-1/2$，即 $(x-\alpha )(x-\beta )+2y^2=0$。记 $h=(\beta -\alpha )/2$，配方得 $(x-(\alpha +\beta )/2{)}^2+2y^2=h^2$。故长、短半轴分别为 $h,h/\sqrt{2}$，离心率是 $\boxed{1/\sqrt{2}}$，选 D。