选择性必修第一册 · 第 3 章圆锥曲线的方程

3.1 椭圆

从圆的一个圆心，到椭圆的两个焦点：固定一根无弹性细绳的两端，用笔尖把绳子绷紧绕一圈，画出来的对称饱满曲线就是椭圆。到两焦点距离之和恒为定值 $2a$，这一几何核心决定了它的标准方程、扁平程度与全部性质。

3D 舞台：平面斜截圆锥得到椭圆，用丹德林双球看出 PF₁ + PF₂ 为什么是定值 →

两颗图钉相距 6 厘米，绳子也长 6 厘米。把绳的两端固定在图钉上。

用笔尖拉紧绳子移动，能画出什么？先猜一猜。

1. 先认识几个词

要用到：直角坐标系、两点间距离公式（回看 2.3）。

课本用词：椭圆定义要求距离和 $2a>2c$；$2a=2c$ 退化为焦点连线线段，不能继续当作椭圆套标准方程。

伴读直觉微图解：椭圆第一定义、标准方程与离心率

焦点与焦距：

焦点：确定椭圆位置的两个定点，记作 $F_1, F_2$。
焦距：两焦点间的距离 $|F_1F_2|$，记作 $2c$（特别提醒：焦距是 $2c$，不是 $c$；$c$ 叫半焦距）。

例：焦点为 $F_1(-4, 0), F_2(4, 0)$，则半焦距 $c = 4$，焦距是 $2c = 8$。

长轴与短轴：

长轴：长轴长为 $2a$（半长轴长为 $a$），端点为长轴顶点。
短轴：短轴长为 $2b$（半短轴长为 $b$）。椭圆中必有 $a > b > 0$。

例：长轴长为 $10$，则 $a = 5$；短轴长为 $6$，则 $b = 3$。核心勾股式：$a^2 = b^2 + c^2$。

离心率 $e$：半焦距与半长轴的比值 $e = \dfrac{c}{a} \in (0, 1)$。刻画椭圆扁平程度：$e$ 越接近 $1$ 越扁；越接近 $0$ 越圆。

参数辨析椭圆中 $a,b,c$ 勾股关系：$a$ 恒为最长斜边

勾股实质：短轴端点到两焦点距离均为 $a$，与原点、焦点围成直角三角形，斜边为 $a$，两直角边为 $b, c$！

核心等式：$a^2 = b^2 + c^2$（$a$ 最大，绝不可与双曲线 $c^2=a^2+b^2$ 混淆！）。

口诀：椭圆里长轴半长 $a$ 称王，$a^2 = b^2 + c^2$。

定义临界距离和 $2a$ 与焦距 $2c$ 的三态边界

三态蜕变：平面内到两定点距离之和 $|PF_1|+|PF_2| = 2a$：
① $2a > 2c$ ⟹ 轨迹为椭圆；
② $2a = 2c$ ⟹ 轨迹蜕化为线段 $F_1F_2$；
③ $2a < 2c$ ⟹ 两边之和小于第三边，无轨迹（空集）！

高考防坑：解题读到“到两点距离之和为常数”，第一反应必先核验 $2a > 2c$！

标准方程（大分母定焦点）：$\dfrac{x^2}{\color{#2563eb}{a^2}} + \dfrac{y^2}{\color{#059669}{b^2}} = 1 \quad (\color{#2563eb}{a} > \color{#059669}{b} > 0, \quad \color{#2563eb}{a^2} = \color{#059669}{b^2} + \color{#dc2626}{c^2})$
离心率与定义关系：$e = \dfrac{\color{#dc2626}{c}}{\color{#2563eb}{a}} = \sqrt{1 - \dfrac{\color{#059669}{b^2}}{\color{#2563eb}{a^2}}} \in (0, 1);\quad |PF_1| + |PF_2| = \color{#2563eb}{2a} > \color{#dc2626}{2c}$

2. 定义：绳长要比两钉间距长

椭圆：平面内到两个定点 $F_1, F_2$ 的距离之和等于常数 $2a$，并且 $2a$ 大于 $|F_1F_2|=2c$ 的点的轨迹。

为什么要加“大于”：三角形两边之和大于第三边，所以任何点都有 $|PF_1|+|PF_2|\ge|F_1F_2|$，等号只在 $P$ 落在线段 $F_1F_2$ 上时成立。常数 $2a$ 和 $2c$ 比一比，结果就分成三种：

① $2a > 2c$：轨迹是椭圆；
② $2a = 2c$：轨迹是线段 $F_1F_2$；
③ $2a < 2c$：没有这样的点。

例 1（看一遍怎么写）

$F_1(-4,0)$，$F_2(4,0)$。动点 $P$ 满足 $|PF_1|+|PF_2|$ 分别等于 $12$、$8$、$7$，轨迹各是什么？在第一种情形里，若 $|PF_1|=5$，求 $|PF_2|$。

两定点距离 $|F_1F_2|=4-(-4)=8$，即 $2c=8$。

和为 $12$：$12>8$，是椭圆。验一个点：$P(6,0)$ 到两点距离 $10$ 和 $2$，和是 $12$，在轨迹上。

和为 $8$：$8=8$，是线段 $F_1F_2$，不是椭圆。

和为 $7$：$7<8$，任何点到两点距离之和都至少是 $8$，没有轨迹。

第一种情形：$|PF_1|+|PF_2|=12$，所以 $|PF_2|=12-5=7$。

自己试试：$F_1(0,-5)$，$F_2(0,5)$，动点 $P$ 满足 $|PF_1|+|PF_2|=8$。$P$ 的轨迹是？

C。$|F_1F_2|=5-(-5)=10$，而和只有 $8$，$8<10$，到两点距离之和不可能比两点间距还小。选 A 是一看到“距离之和为常数”就说椭圆，没先拿常数和 $|F_1F_2|$ 比；常见的还有把 $|F_1F_2|$ 算成 $5$（漏了它是 $2c$），误以为 $8>5$。

3. 标准方程：焦点在哪条轴

以两焦点连线为一条坐标轴、线段 $F_1F_2$ 的中点为原点建系。移项整理得到标准方程：

焦点在 $x$ 轴上：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），焦点 $(\pm c,0)$。
焦点在 $y$ 轴上：$\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），焦点 $(0,\pm c)$。

先把方程化成“右边是 $1$、两项分母都为正”的样子，再比分母：哪个分母大，焦点就在哪条轴上，大分母是 $a^2$。

例 2

椭圆的焦点在 $y$ 轴上，焦距为 $6$，且经过点 $(4,0)$。求它的标准方程。

焦点在 $y$ 轴上，设 $\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）。

焦距 $2c=6$，所以 $c=3$。

点 $(4,0)$ 代入：$0+\dfrac{16}{b^2}=1$，得 $b^2=16$。

$a^2=b^2+c^2=16+9=25$。所以方程是 $\dfrac{y^2}{25}+\dfrac{x^2}{16}=1$。

检查：$a=5>b=4$，焦点 $(0,\pm3)$ 确实在 $y$ 轴上。点 $(4,0)$ 在 $x$ 轴上，这里是短轴端点，不能直接把 $4$ 当成 $a$。

自己试试：椭圆 $4x^2+y^2=4$ 的焦点坐标是？

B。两边除以 $4$：$x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$，即 $\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{4}=1$。$y^2$ 的分母 $4$ 大，焦点在 $y$ 轴上，$a^2=4$，$b^2=1$，$c^2=4-1=3$。选 A 是没化成标准形式，把系数 $4$ 当成了 $x^2$ 的分母；选 C 是把 $c^2$ 算成了 $a^2+b^2$。

4. 几何性质：$a$、$b$、$c$ 和离心率

从方程 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）直接读出：

范围：$-a\le x\le a$，$-b\le y\le b$。关于两坐标轴及原点对称。
顶点：$(\pm a,0)$、$(0,\pm b)$，长轴长 $2a$，短轴长 $2b$。

$a^2=b^2+c^2$，$a$ 最大。直角三角形直角边 $b, c$，斜边 $a$。
离心率 $e=\dfrac{c}{a}\in(0,1)$：$e$ 越大越扁，$e$ 越小越圆。

例 3

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$，求它的长轴长、短轴长、离心率。

$a^2=25, b^2=9 \implies a=5, b=3$。长轴长 $2a=10$，短轴长 $2b=6$。

$c=\sqrt{25-9}=4$，离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac 45=0.8$。

自己试试：已知椭圆长轴长为 $8$，离心率为 $\dfrac12$，则短轴长为？

A。长轴长 $2a=8 \implies a=4$。$e=\dfrac ca=\dfrac12 \implies c=2$。$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt3$，短轴长为 $2b=4\sqrt3$。选 B 的同学停在了半短轴 $b$；选 C 是误把 $c$ 当成了 $b$。

5. 直线与椭圆位置关系

直线与椭圆联立，消元得到一元二次方程，用判别式 $\Delta$ 判断：$\Delta>0$ 相交；$\Delta=0$ 相切；$\Delta<0$ 相离。弦长可利用韦达定理：$L = \sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$。

例 4

直线 $y=x+m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$。$m$ 取什么值时有两个交点？$m=1$ 时求交点和弦长。

代入并两边乘 $4$：$5x^2+8mx+4m^2-4=0$。$\Delta=80-16m^2>0 \iff -\sqrt5 < m < \sqrt5$。

$m=1$：$5x^2+8x=0 \implies x_1=0, x_2=-\dfrac85$。弦长 $=\sqrt{1+1^2}|0 - (-\dfrac85)| = \dfrac{8\sqrt2}{5}$。

自己试试：直线 $x=1$ 被椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 截得的弦长是？

B。$x=1$ 直接代入：$\dfrac{y^2}{3}=1-\dfrac14=\dfrac34$，$y^2=\dfrac94$，$y=\pm\dfrac32$。弦长为 $\dfrac32 - (-\dfrac32) = 3$。竖直线直接代入最快。

6. 三步破题思维链：椭圆标准解题动作

👀 第一眼破题信号

① 看到椭圆方程、焦点、离心率，或到两定点距离之和 → 想到先化成右端为 $1$ 的标准形式。
② 两个分母不同 → 想到先判长轴方向，再用 $a,b,c$ 关系连接焦点和离心率。

🔧 第二步套公式/方法

① 基础参数互化：牢记 $a^2=b^2+c^2$ 与 $e=\frac ca=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$；
② 焦点三角形问题：套用 $|PF_1|+|PF_2|=2a$ 结合余弦定理，或直接使用面积公式 $S=b^2\tan\frac\theta2$；
③ 直线与椭圆相交：联立消元，写出判别式 $\Delta > 0$，韦达定理结合弦长公式 $L=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$。

🛡️ 第三步必查防坑结论

① 焦距是 $2c$ 绝非 $c$，长轴长是 $2a$ 绝非 $a$，审题千万别把半轴长当成轴长！
② 动点轨迹到两点距离之和为定值时，若 $2a=2c$ 则轨迹蜕化为线段，切勿直接盲写椭圆！

焦点三角形面积推导：设 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，$P$ 在椭圆上且不是长轴端点，令 $u=|PF_1|,v=|PF_2|,\theta=\angle F_1PF_2$，则 $0<\theta<\pi$。由 $u+v=2a$ 与余弦定理，$4c^2=u^2+v^2-2uv\cos\theta=4a^2-2uv(1+\cos\theta)$，得 $uv=2b^2/(1+\cos\theta)$。因此 $S=\frac12uv\sin\theta=b^2\tan(\theta/2)$。长轴端点时三角形退化、面积为零，应单独处理。

7. 三大翻车现场与反例辨析

翻车现场 1：把焦距 2c 误写成 c 导致参数全错

❌ 题目说“焦距为 6”，直接列 $c=6$，得出 $c^2=36$

✔ 焦距是两焦点间距 $2c=6$，半焦距 $c=3$，$c^2=9$

翻车现场 2：大分母原则看反焦点轴向

❌ 对 $4x^2+y^2=4$（即 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1$），误认为焦点在 $x$ 轴上

✔ $y^2$ 分母 $4$ 大于 $x^2$ 分母 $1$，大分母为 $a^2$，焦点在 $y$ 轴上

翻车现场 3：2a=2c 临界点误判为椭圆

❌ 两定点 $F_1(-3,0), F_2(3,0)$，$|PF_1|+|PF_2|=6$，直接写轨迹为椭圆

✔ 两点间距 $2c=6$，和等于间距，轨迹退化为线段 $F_1F_2$

反例微图解：$2a = 2c$ 退化为线段反例对比

两定点间距为 $2c$。若距离之和 $2a = 2c$，动点只能落在两点连线上，轨迹为线段 $F_1F_2$；只有 $2a > 2c$ 才能向外张开形成椭圆！

8. 从例题到考题：不解交点也能算

回到例 4，$m=1$ 时交点是 $P(0,1)$、$Q\left(-\dfrac85,-\dfrac35\right)$，所以 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=x_1x_2+y_1y_2=-\dfrac35$，$OP$ 与 $OQ$ 不垂直。如果 $m$ 还是字母，求根公式带着 $\sqrt{80-16m^2}$，再代入就很难算。注意 $x_1x_2+y_1y_2$ 把 $x_1,x_2$ 对调后不变，这种式子能用两根之和、两根之积表示。

桥接例题

直线 $y=x+m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 交于 $P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$ 两点，$O$ 为原点，且 $OP\perp OQ$。求 $m$。

卡在哪里：想先求出 $P,Q$ 的坐标，可 $m$ 未知，根式代入后算不下去。

看到什么信号：要用的是“两个交点一起出现”的条件，又不需要单个交点的坐标。

第一步怎么做：把 $OP\perp OQ$ 写成 $x_1x_2+y_1y_2=0$，再把 $y_1y_2$ 也化成 $x_1,x_2$ 的和与积。

完整解答：由例 4，联立得 $5x^2+8mx+4m^2-4=0$，$\Delta>0\iff m^2<5$。由韦达定理

\[x_1+x_2=-\frac{8m}{5},\quad x_1x_2=\frac{4m^2-4}{5}.\]

$y_1y_2=(x_1+m)(x_2+m)=x_1x_2+m(x_1+x_2)+m^2=\dfrac{m^2-4}{5}$。

由 $OP\perp OQ$ 得 $x_1x_2+y_1y_2=\dfrac{5m^2-8}{5}=0$，所以 $m^2=\dfrac85$。它满足 $m^2<5$，故 $m=\pm\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$。

设出交点却不解出来：条件写成两根的和与积，用韦达定理代入，最后别忘了回头看 $\Delta>0$。

只写关键一步：直线 $y=x-1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 交于 $P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$，联立得 $3x^2-4x-2=0$。不解方程，$y_1y_2=$？

只写关键一步：直线与椭圆交于 $P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$，且以 $PQ$ 为直径的圆过原点 $O$。这个条件应改写成？

再深一点（可以先跳过）

对焦点在 $x$ 轴上的椭圆，约定左焦点 $F_1(-c,0)$、右焦点 $F_2(c,0)$，$P(x_0,y_0)$ 在椭圆上。能否由两焦半径之和与平方差，求出它们各自的表达式？

展开思路与核对

设 $u=|PF_1|,v=|PF_2|$，有 $u+v=2a$，$u^2-v^2=(x_0+c)^2-(x_0-c)^2=4cx_0$，故 $u-v=2cx_0/a=2ex_0$。相加减得 $u=a+ex_0,v=a-ex_0$，其中 $e=c/a$。若焦点标签对换，公式中的正负也要对换。

双焦点拉线与椭圆微实验室

拖动椭圆上的动点 $P$（或按键盘方向键），观察双焦半径 $PF_1$（绿线）与 $PF_2$（金线）的变化；下方实时展示“拉直绳线对比条”，直观验证无论 $P$ 滑到哪里，两段距离之和恒等于 $2a$。调节滑块观察离心率 $e$ 和扁平度；点击预设反例查看 $2a = 2c$ 时椭圆如何退化为线段。

焦半径 $|PF_1|$ 焦半径 $|PF_2|$ 总绳长 $2a$

半长轴 $a$6

半焦距 $c$4

从易到难排好了。前两题检验标准方程与基本量计算，后三题针对高考与诊断中最常踩的五大陷阱。

直接用

1. 已知椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$，则该椭圆的长轴长、焦距和离心率分别为？

A。比较分母：$25 > 16$，所以 $a^2 = 25 \implies a = 5$，$b^2 = 16 \implies b = 4$。

由 $a^2 = b^2 + c^2$ 得 $c^2 = 25 - 16 = 9 \implies c = 3$。

因此长轴长为 $2a = 10$（不是 $a=5$）；焦距为 $2c = 6$（不是 $c=3$）；离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5} = 0.6$。

选 B 的同学错把半长轴和半焦距当成了长轴长与焦距；选 C 的同学误把小分母当成了长半轴。

2. 已知点 $F_1(-4, 0), F_2(4, 0)$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在该椭圆上运动。若 $|PF_1| = 7$，则 $|PF_2|$ 的长度为？

B。直接用定义：方程中 $a^2 = 25 \implies a = 5$，因此定值 $2a = 10$。

验证焦距：$c = \sqrt{25 - 9} = 4$，两焦点恰为 $F_1(-4, 0), F_2(4, 0)$。根据椭圆的第一定义，椭圆上的任意点 $P$ 到两焦点距离之和恒等于 $2a$：

$|PF_1| + |PF_2| = 2a = 10$

代入已知 $|PF_1| = 7$，解得 $|PF_2| = 10 - 7 = 3$。选 A 的同学误以为焦半径之差为定值（混淆了双曲线）。

易错

3. （边界 1：定义退化）平面内动点 $P$ 到两定点 $F_1(-3, 0), F_2(3, 0)$ 的距离之和满足 $|PF_1| + |PF_2| = 6$，则点 $P$ 的轨迹是？

B。计算两定点间距离：$|F_1F_2| = 3 - (-3) = 6$。

条件中距离之和 $2a = 6$，此时恰好满足 $2a = 2c = 6$！

根据公理“两点之间线段最短”，当且仅当点 $P$ 在线段 $F_1F_2$ 上时，才满足 $|PF_1| + |PF_2| = |F_1F_2| = 6$。若 $P$ 不在连线段上，由三角形两边之和大于第三边，距离之和必定严格大于 $6$。

因此轨迹退化成了线段 $F_1F_2$，不是椭圆！只有满足 $2a > 2c$ 时，轨迹才是真正的椭圆。如果 $2a < 2c$，则无轨迹。

4. （边界 3：含参方程与焦点轴向）方程 $\dfrac{x^2}{m+2} + \dfrac{y^2}{5-m} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $m$ 的取值范围是？

C。表示椭圆且焦点在 $y$ 轴上，必须同时满足三个硬性条件：

$x^2$ 项的分母必须大于 $0$：$m + 2 > 0 \implies m > -2$；
$y^2$ 项的分母必须大于 $0$：$5 - m > 0 \implies m < 5$；
焦点在 $y$ 轴要求 $y^2$ 项分母严格大于 $x^2$ 项分母：$5 - m > m + 2 \implies 2m < 3 \implies m < 1.5$。

取三者交集，解得 $-2 < m < 1.5$。

选 A 的同学忽略了焦点必须在 $y$ 轴（只列了分母为正）；选 B 的同学漏掉了 $m + 2 > 0$（当 $m \le -2$ 时分母非正，根本不是椭圆）；选 D 的同学把焦点算到 $x$ 轴上了。

5. （边界 2 & 4 & 5：几何量混淆与短轴长）已知椭圆的两个焦点间的距离是 $8$，椭圆的离心率 $e = \dfrac{4}{5}$，则该椭圆的短轴长为？

B。抓住词条的核心定义：

两焦点间的距离是焦距 $2c = 8 \implies c = 4$（警惕：不能误记为 $c=8$！）；
由 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}$，得半长轴 $a = \dfrac{c}{e} = \dfrac{4}{4/5} = 5$；
由椭圆几何量关系 $a^2 = b^2 + c^2$（$a$ 是老大！），得 $b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 16 = 9 \implies b = 3$；
题目问的是短轴长，短轴长是 $2b = 2 \times 3 = 6$（易错陷阱：$b=3$ 是半短轴长，不是短轴长！）。

选 A 的同学在最后一步把半短轴长 $b=3$ 当作了短轴长；选 C 的同学算出了长轴长 $2a=10$。

本节高考真题

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先修回顾 · 初中数学

学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：

初中 · 29.1 圆的有关概念初中将圆定义为到一定点距离等于定长的点的轨迹；高中把一个定点拆分为两个焦点（到两焦点距离之和为定长 $2a$）即得到椭圆，圆是两焦点重合的特殊椭圆。
初中 · 10.2 消元——解二元一次方程组初中解二元一次方程组的“代入消元法”，在高中解析几何中直接用于联立直线方程与椭圆（及双曲线、抛物线）方程，消去 $y$ 化归为一元二次方程并应用韦达定理。

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