2011 年陕西预赛 · 第 4 题

解答

两交点横坐标分别是 $-c,c$。代入椭圆可知，两纵坐标的绝对值均为 $b^2/a$。若纵坐标同号，直线斜率为零，与题不符；故它们异号，正斜率为 $b^2/(ac)$。于是 $b^2/(ac)=1/\sqrt{2}$。令 $e=c/a$，得到 $(1-e^2)/e=1/\sqrt{2}$，即 $\sqrt{2}{e}^2+e-\sqrt{2}=0$。取零与一之间的根，得 $\boxed{e=1/\sqrt{2}}$。