2013 年山西预赛 · 第 2 题

解答

三个长度是 $c,a,a^2/c$，并且 $0<c<a<a^2/c$。因此勾股关系只能是 $c^2+a^2=a^4/c^2$。记 $e=c/a$，得到 $e^4+e^2-1=0$，所以 $e^2=(\sqrt{5}-1)/2$。取正平方根，所求为 $\boxed{e=\sqrt{(\sqrt{5}-1)/2}}$。