培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录选择性必修第一册 · 第 2 章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
一个点加一个方向，就定下一条直线。把它写成关于 \(x\)、\(y\) 的等式，有五种常见写法：点斜式是基础，另外四种是它的特例或变形，各有写不出来的时候。
水箱里原来有 \(1\) 升水，打开水龙头后每分钟流进 \(2\) 升。用 \(x\) 表示分钟数，\(y\) 表示水量（升）。先判断下面的问题，作答后再用时间按钮观察水箱水位与坐标点的同步变化。
\(3\) 分钟后，水箱里有多少升水？
B。原有 \(1\) 升，再加 \(3\times2=6\) 升，共 \(7\) 升。一般地 \(y=1+2x\)。
在坐标系里，点 \((0,1)\)、\((1,3)\)、\((2,5)\)、\((3,7)\)……排成一条直线：起点是 \((0,1)\)，“每往右 \(1\)，往上 \(2\)”就是斜率 \(2\)。
这一节就讲：知道直线上一个点和斜率（或者两个点、两个截距），怎么写出它的方程；以及哪种写法在什么时候写不出来。
1. 先认识几个词
要用到：2.1 的倾斜角与斜率，特别是两点求斜率 \(k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)（\(x_1\ne x_2\)）（回看 2.1）。
课本用词：点斜式和斜截式默认斜率存在；截距式还要求两个截距都非零。竖直线统一用一般式或 \(x=x_0\) 表示。
直线的方程：一个关于 \(x\)、\(y\) 的代数等式，直线上每个点的坐标都满足它，满足它的点也都在直线上。
例：\(y=2x+1\)。点 \((1,3)\) 代入 \(3=2+1\) 成立，在直线上；点 \((1,4)\) 代入 \(4\ne3\)，不在直线上。
截距：直线和 \(y\) 轴交点 \((0,b)\) 的纵坐标 \(b\) 叫纵截距；和 \(x\) 轴交点 \((a,0)\) 的横坐标 \(a\) 叫横截距。
例：\(y=2x-4\)。令 \(x=0\) 得纵截距 \(b=-4\)；令 \(y=0\) 得横截距 \(a=2\)。截距是坐标不是距离，可正可负可为 \(0\)！
特殊方程局限：点斜式、斜截式要求斜率存在（无法表示竖直线 \(x=x_0\)）；两点式要求分母非零；截距式要求 \(a,b\ne0\)（无法表示过原点或平行于轴的直线）。
一般式兜底：\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\) 不同时为 \(0\)），能表示平面内任何直线，无需分类讨论斜率。
做题法则：设方程时优先考虑特殊位置；拿不准时用一般式兜底。
截距：交点的真实坐标值，例如 \(x-y-3=0\) 的纵截距为 \(-3\)，横截距为 \(3\)。
围成面积：直线与两坐标轴围成的直角三角形面积为 \(S = \frac12 |a||b|\)，必须加绝对值。
高考命题陷阱：题干说“截距相等”，包含 \(a=b\ne0\) 与 \(a=b=0\)（过原点）两大类！
截距式与一般式：\(\dfrac{x}{\color{#2563eb}{a}} + \dfrac{y}{\color{#059669}{b}} = 1 \quad (ab \ne 0);\quad \color{#2563eb}{A}x + \color{#059669}{B}y + \color{#dc2626}{C} = 0 \quad (A^2+B^2\ne0)\)
2. 点斜式与斜截式
直线过点 \(P_0(x_0,y_0)\)，斜率为 \(k\)。任取直线上另一点 \(P(x,y)\)，由斜率公式 \(\dfrac{y-y_0}{x-x_0}=k\)，去分母得 \(y-y_0=k(x-x_0)\)；\(P_0\) 自己代进去两边都是 \(0\)，也满足。
斜截式：点取 \((0,b)\)，得 \(y=kx+b\)，\(b\) 是纵截距。
例 1（看一遍怎么写）
直线过 \((2,-1)\)，斜率 \(3\)，求方程，并写成斜截式。
点斜式：\(y-(-1)=3(x-2)\)，即 \(y+1=3(x-2)\)。
展开：\(y+1=3x-6\)，\(y=3x-7\)。斜率 \(3\)，纵截距 \(-7\)。
验算：\(x=2\) 时 \(y=6-7=-1\)，正好过 \((2,-1)\)。
自己试试：过 \((-1,2)\)、斜率 \(-2\) 的直线是？
A。\(x_0=-1\)，\(x-x_0=x-(-1)=x+1\)。选 C 的同学把 \(x-(-1)\) 写成了 \(x-1\)；选 B 是两个坐标的符号都弄反了。代 \(x=-1\) 验算：A 得 \(y=2\)，对。
3. 两点式与截距式
知道两个点 \((x_1,y_1)\)、\((x_2,y_2)\)，先求斜率，再用点斜式，就是两点式。写成对称的样子：
截距式：两点取 \((a,0)\)、\((0,b)\)，得 \(\dfrac xa+\dfrac yb=1\)，要求 \(a\ne0\)，\(b\ne0\)。
例 2
(1) 直线过 \((1,2)\)、\((3,6)\)，求方程。
\(\dfrac{y-2}{6-2}=\dfrac{x-1}{3-1}\)，即 \(\dfrac{y-2}{4}=\dfrac{x-1}{2}\)，化简 \(y-2=2(x-1)\)，\(y=2x\)。
(2) 直线横截距 \(2\)、纵截距 \(-3\)，求方程。
截距式：\(\dfrac x2+\dfrac y{-3}=1\)，即 \(\dfrac x2-\dfrac y3=1\)。验算：\((2,0)\) 代入 \(1-0=1\)，\((0,-3)\) 代入 \(0+1=1\)，都对。
自己试试：直线 \(\dfrac x4-\dfrac y2=1\) 的横截距、纵截距分别是？
B。\(-\dfrac y2=\dfrac y{-2}\)，所以 \(b=-2\)。直接令 \(x=0\) 也行：\(-\dfrac y2=1\)，\(y=-2\)。选 A 的同学把截距当成了长度，丢了负号。
4. 一般式
上面每种写法，移项后都是 \(Ax+By+C=0\) 的样子；竖直直线 \(x=x_0\) 也是（\(B=0\)）。所以任何直线都能写成一般式。反过来：
- \(B\ne0\)：化成 \(y=-\dfrac ABx-\dfrac CB\)，斜率 \(-\dfrac AB\)，纵截距 \(-\dfrac CB\)；
- \(B=0\)（这时 \(A\ne0\)）：\(x=-\dfrac CA\)，竖直直线。
例 3
直线 \(2x-3y+6=0\)，求斜率和两个截距。
\(B=-3\ne0\)，移项 \(3y=2x+6\)，\(y=\dfrac23x+2\)：斜率 \(\dfrac23\)，纵截距 \(2\)。
令 \(y=0\)：\(2x+6=0\)，\(x=-3\)，横截距 \(-3\)。
自己试试：直线 \(3x+y-6=0\) 的斜率是？
B。移项 \(y=-3x+6\)。选 A 的同学直接读了 \(x\) 前面的 \(3\)，忘了移到另一边要变号；用公式 \(-\dfrac AB=-\dfrac31\) 也是 \(-3\)。
一般式不唯一：\(2x-3y+6=0\) 两边乘非零常数 \(-2\) 得 \(-4x+6y-12=0\)，是同一条直线。比较两条直线时，可先倍乘非零常数统一对应系数，再比较。
5. 三步破题思维链：求直线方程解题标准动作
① 看到过定点、截距或直线位置关系，尤其带参数 → 想到先排查竖直直线，不能只套斜截式。
② 条件给出点、斜率或截距关系 → 想到按条件选点斜式、截距式或一般式列方程。
① 过定点：先检验斜率不存在的竖直线 \(x=x_0\) 是否满足；斜率存在时设点斜式 \(y-y_0=k(x-x_0)\)；
② 截距关系：先检验过原点直线 \(y=kx\)（截距均为 0 往往成立）；不过原点时再设截距式 \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)；
③ 若题目涉及两线平行或垂直，直接利用一般式系数字段比：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)。
① 截距相等必查 \(a=b=0\)（过原点），高考漏此解直接扣一半分！
② 求斜率或倾斜角范围时，若涉及竖直线，必须分开两段书写，切勿把间断处连成一段闭区间。
6. 三大翻车现场与反例辨析
再深一点（可以先跳过）
两点横坐标相等时，带分母的两点式写不出来，能否用一个无分母的方程兼顾竖直和水平直线？试过 \((2,1)\)、\((2,5)\) 的情形。
展开思路与核对
不怕分母为 \(0\) 的两点式：把两点式交叉相乘，\((y-y_1)(x_2-x_1)=(x-x_1)(y_2-y_1)\)。只要两点不同，它对竖直、水平直线也成立。例：\((2,1)\)、\((2,5)\) 代进去得 \(0=4(x-2)\)，就是 \(x=2\)。
① 拖两个点，看五种写法
拖动 \(P_1\)、\(P_2\)（或选中后按方向键，每次一格）。下面同时列出这条直线的五种写法；写不出的会说为什么。试试把两点拖成竖直、水平，或让直线过原点。
② 进阶：一点加斜率，看截距的正负
拖动点 \(P\)，用滑块改斜率（最右一格是竖直）。金色点是和 \(x\) 轴的交点，蓝色点是和 \(y\) 轴的交点，旁边写的是带符号的截距。先观察默认点 \((4,1)\)：改变斜率，比较两个截距的正负；再把直线调成水平或竖直，检查哪些截距仍存在。
从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。
直接用
1. 过 \(A(1,-2)\)、\(B(3,4)\) 的直线，一般式是？
A。\(k=\dfrac{4-(-2)}{3-1}=3\)，点斜式 \(y+2=3(x-1)\)，整理得 \(3x-y-5=0\)。B、C 都过 \(A\)，但把 \(B(3,4)\) 代进去不成立：B 是斜率算成了 \(-3\)，C 是把斜率算倒成了 \(\dfrac13\)。
2. 直线 \(2x+5y-10=0\) 的横截距、纵截距分别是？
A。令 \(y=0\)：\(2x=10\)，\(x=5\)；令 \(x=0\)：\(5y=10\)，\(y=2\)。截距式是 \(\dfrac x5+\dfrac y2=1\)。选 B 的同学把 \(x\)、\(y\) 的系数直接当截距了；选 C 是忘了 \(-10\) 移项后变成 \(+10\)。
易错
3. 过点 \(P(2,3)\)，且在两条坐标轴上截距相等的直线有几条？
B。截距式要 \(a,b\ne0\)，所以要分两种：
截距都不为 \(0\)：设 \(\dfrac xa+\dfrac ya=1\)，代入 \(P\) 得 \(a=5\)，即 \(x+y-5=0\)。
截距都为 \(0\)：直线过原点，也算“截距相等”。过 \((0,0)\)、\((2,3)\)，得 \(y=\dfrac32x\)，即 \(3x-2y=0\)。
A 只设了截距式，漏掉了过原点的那条。在“动手”②里把 \(P\) 放在 \((2,3)\)、\(k\) 调到 \(\dfrac32\) 就能看到。
4. 过点 \((1,2)\)，且横截距为 \(1\) 的直线是？
B。设点斜式时就默认了斜率存在，竖直直线被漏掉了。过 \((1,2)\) 的竖直直线 \(x=1\) 和 \(x\) 轴交于 \((1,0)\)，横截距正是 \(1\)。C 过原点，横截距是 \(0\)。
5. 直线 \(l\) 与 \(y\) 轴交于 \((0,-2)\)，与 \(x\) 轴交于 \((3,0)\)。下面哪个说法对？
B。截距是交点的坐标，纵截距是 \(-2\)，不是 \(2\)；所以 \(b=-2\)。A、C 都是把截距当成了长度。C 那条线过 \((0,2)\)，不是 \(l\)。
挑战
6. 方程 \((a-2)x+(a^2-4)y+1=0\) 表示一条直线，\(a\) 的取值范围是？
A。一般式只要 \(A\)、\(B\) 不同时为 \(0\)。\(A=a-2=0\) 要 \(a=2\)；\(B=a^2-4=0\) 要 \(a=\pm2\)。同时为 \(0\) 只在 \(a=2\)，这时方程变成 \(1=0\)，没有点。
B 错在要求 \(A\)、\(B\) 都不为 \(0\)：\(a=-2\) 时方程是 \(-4x+1=0\)，即 \(x=\dfrac14\)，是一条竖直直线，可以。
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一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。
打开一试专题地图，还有 2 个专题也以这一节为先修