焦点、准线与反射

焦准定义与参数

准线距离是到直线的垂直距离 |x−d|，不是到其某个定点的距离。椭圆 x²/a²+y²/b²=1，a>b>0，c²=a²−b²，e=c/a∈(0,1)；焦点 (±c,0) 分别配准线 x=±a/e。双曲线 x²/a²−y²/b²=1，a,b>0，c²=a²+b²，e=c/a>1，焦点与准线按相同正负号配对。两者均有 PF=e|x−d|，不可把左右焦点与准线交叉配对。圆 e=0 没有此形式的有限准线，本实验不将其冒充椭圆焦准模型。

抛物线 y²=4px，p>0，焦点 (p,0)，准线 x=−p，PF=x+p=d(P,准线)，故 e=1。本实验用 P=(pt²,2pt)，包含顶点 t=0。椭圆 P=(a cos t,b sin t)，t 以角度输入；双曲线 P=(±a cosh t,b sinh t)，t 为无量纲实数，两支均支持。

切线、法线与实际反射

对隐式方程 f(x,y)=0，非零梯度 n=∇f 是法线方向，切线满足 n·(X−P)=0；无需除以斜率，因此顶点的竖直切线也有效。椭圆梯度为 (2x/a²,2y/b²)，双曲线为 (2x/a²,−2y/b²)，抛物线为 (−4p,2y)。单位入射方向 u 的反射为 v=u−2(u·n̂)n̂；v 与 u 的切向分量相同、法向分量相反，所以入射角等于反射角。

椭圆上 |P−F₁|+|P−F₂|=2a；求梯度得法线平行于两条焦点单位向量的和，故从 F₁ 发出的入射光经反射后沿 P→F₂ 传播。双曲线上 ||P−F₁|−|P−F₂||=2a，每支分别求梯度，得法线平行于两条焦点单位向量的差。因此从 F₁ 发出的光反射后沿 F₂→P 的方向继续传播，只有反射线的反向延长线经过 F₂；图中 F₂ 是此反射光束的虚焦，不能画成实际光射向 F₂。两支皆然，顶点的焦点、P 共线也无需使用无定义角。

抛物线可写 |P−F|−x=p，梯度平行于 (P−F)/|P−F|−(1,0)，故沿 (−1,0) 入射的平行光反射到焦点。由反射公式的可逆性，焦点发出的光反射后向 (+1,0) 平行传播。上述为理想二维镜面在 P 处的单次反射；不模拟遮挡或二次碰撞。

焦点弦与退化

将直线 X=F+λ(cos α,sin α) 代入曲线，得到 Aλ²+Bλ+C=0。两个有限交点才构成通常的焦点弦。双曲线取渐近线方向时 A=0；抛物线取轴方向时 A=0，均仅剩一个有限交点，另端趋于无穷远；此时不报告有限弦长。双曲线焦点弦两端可能位于同一射线上，不预设 λ 异号。不把无穷远端点画成图边上的有限点。

无效、非有限及过大的数值参数返回不可用状态。e=1 的椭圆/双曲线不属于本模型；过小焦距和过大参数受显式范围限制。若入射点等于光源，单位方向不存在，禁止反射与判答。有限合法的本控件参数下 P 不会等于焦点。预测接受与当前焦点距离的绝对误差 ≤0.02；修改参数后清空反馈和精确读数，不写入学习记录。