椭圆知识图谱

对 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，本图约定 $a>b>0$，所以长轴沿横轴。若竖轴的分母更大，应先交换长短轴的角色，不能仍把横坐标当焦轴。

横轴椭圆有 $c^2=a^2-b^2$，焦点为 $(\pm c,0)$，焦距是 $2c$，离心率 $e=c/a\in (0,1)$。距离和定义给 $P{F}_1+P{F}_2=2a$，不是 $a$。

椭圆上的点应满足标准式。若题目指定第一象限切点或坐标轴正半轴截点，就要同时保留坐标正性；平方后得到的点不一定都符合图形约束。

椭圆点可写成 $(a\cos t,b\sin t)$。若切点在第一象限，可取 $0<t<\pi /2$；此时正余弦均正，截距计算中的除法合法。

在椭圆点 $(x_0,y_0)$ 处的切线为 $x{x}_0/a^2+y{y}_0/b^2=1$。若 $x_0,y_0$ 都不为零，截距为 $a^2/x_0,b^2/y_0$；为零时应直接看直线方程，不能套倒数。

将非竖直直线 $y=kx+d$ 代入椭圆，得到关于 $x$ 的二次方程。判别式为正、零、负分别对应两个交点、相切、无实交点。竖直线需单独代入 $x=x_0$，不能用有限斜率强行表示。

交点横坐标若满足 $A{x}^2+Bx+C=0$，$A\ne 0$，则 $x_1+x_2=-B/A$，$x_1{x}_2=C/A$。只有根确实对应合法交点，才能把这些代数量用于弦长或中点。

以两定点为焦点，经过第三点的椭圆，其长轴长等于该点到两焦点的距离和。若距离为5和2、焦距为4，则 $2a=7,2c=4$，离心率为 $4/7$；$7>4$ 保证非退化。

第一象限切点给正截距 $a/\cos t,b/\sin t$。截距连线长的平方为 $a^2/u+b^2/(1-u)$，$u={\cos }^{2}t\in (0,1)$。它减去 $(a+b{)}^2$ 等于 $((a+b)u-a{)}^2/[u(1-u)]$，故最小长度为 $a+b$，取等 $u=a/(a+b)$ 合法。