2008 年陕西预赛 · 第 15 题

解答

若有 $n$ 块且每块异色，涂法数为 $6!/(6-n)!$。其值为七百二十恰在 $n=5$ 或 $n=6$，超过六块则无法涂色。前两条中心直线先分椭圆盘成四块，它们与椭圆边界相交的横坐标为 $\pm 2/3$。当 $m=0$ 时，第三条直线只在内部的原点与前两线相交，增加两块，得到六块；当 $0<|m|<2/3$ 时，它在盘内有两个不同交点，增加三块，得到七块；当 $2/3\le |m|<2$ 时，竖弦内部没有与原两线的交点，增加一块，得到五块；当 $|m|\ge 2$ 时，没有切开盘内部，仍是四块。因此答案为 $\boxed{\{0\}\cup (-2,-2/3]\cup [2/3,2)}$。