专题地图 › 向量的数量积与几何意义
2026 年全国高中数学联赛一试(B 卷) · 第 1 题
F1填空题向量的数量积与几何意义
设平面向量 x,y 满足 x−y=(2,0),x+y=(2,6),则 x⋅y∣x∣=。
作答
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
解析
思路
把和向量与差向量相加、相减,先恢复两个向量坐标,再计算模和数量积。
解答
由两式相加与相减,分别得到
x=2(2,0)+(2,6)=(2,3),y=2(2,6)−(2,0)=(0,3).
因此 ∣x∣=13,x⋅y=9,从而
x⋅y∣x∣=913.
复核
两坐标相减为 (2,0)、相加为 (2,6),符合原条件;数量积为 9=0,题目中的比值有定义。
方法总结
向量的和、差已知时,用线性运算恢复坐标;模与数量积分别计算,不能将数量积误当作两个模的积。
为什么评为 F1(会透露解法方向)
给定和差直接求两向量坐标,再按定义计算模和数量积,分母明确非零。