2023 年中科大少年班初试 · 第 2 题

解答

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，${\vec{\alpha }}_1,{\vec{\alpha }}_2$ 张成的子空间维数至多为2，所以存在非零向量 ${\vec{\beta }}_0$ 同时垂直于它们。 具体地，两者不平行时可取它们的非零叉积；两者平行时任选垂直于这条直线的非零向量。

考察三个实数

若其中至少两个非负，取 $\vec{\beta }={\vec{\beta }}_0$。 否则，其中至少两个严格为负，取 $\vec{\beta }=-{\vec{\beta }}_0$，这两个数量积就变为正。 无论哪种情况，$\vec{\beta }\cdot {\vec{\alpha }}_1=\vec{\beta }\cdot {\vec{\alpha }}_2=0$ 仍成立。因此在五个向量中，至少四个与 $\vec{\beta }$ 的数量积非负。

把对应四个下标从小到大记为 $j_1<j_2<j_3<j_4$。由于所有向量非零，

故

所需非零向量确实存在。