柯西：长度与方向

先预测，再核对

预测当前数量积的符号。零向量时不要用夹角解释。

为什么成立，边界在哪里

设 u=(r,0)，v=(s cos θ,s sin θ)，r,s ≥ 0，0° ≤ θ ≤ 180°。数量积 u·v=u₁v₁+u₂v₂，范数 |u|=$\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2}$。柯西给出 |u·v| ≤ |u||v|，等价于 (u·v)² ≤ |u|²|v|²。

二维恒等式 |u|²|v|²−(u·v)²=(u₁v₂−u₂v₁)² 证明了这个界；取等当且仅当两向量线性相关（含任一为零）。非零时，同向和反向都在平方形式中取等；单侧上界 u·v ≤ |u||v| 只有同向取等。

非零时，负数量积表示 θ>90°，包含反向的 180°；它仍满足带绝对值的界。任一为零时数量积与界都为零，但夹角及除以两模的余弦没有定义。图中零向量用原点圆点表示。