向量的数量积与几何意义 · 学习路线

分别用终点减起点，注意第二条边从 $C$ 指向 $A$。

$\overrightarrow{CA}=(-1,-3)$；数量积按对应坐标相乘再相加。

$\overrightarrow{AB}=(4,1)$，$\overrightarrow{CA}=A-C=(-1,-3)$。

数量积为 $4(-1)+1(-3)=-7$，选第二项。

两向量均非零，因此数量积负说明它们的夹角是钝角。但三角形在 $A$ 的内角由 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 确定，其数量积为 $7>0$，该内角是锐角。

向量夹角的判断要求两个向量都非零，本题模长分别为 $\sqrt{17},\sqrt{10}$。三角形内角与反向边的夹角互补，不能看见负号就断言内角是钝角。本题坐标行列式为 $11\ne 0$，三点不共线。

把 $P$ 写成 $(2,y)$，分别写出从 $P$ 到 $A,B$ 的向量。

也可取 $AB$ 中点 $M$，展开 $(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA})\cdot (\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB})$。

设 $P=(2,y)$，$y$ 可取任意实数。则 $\overrightarrow{PA}=(-5,-y)$、$\overrightarrow{PB}=(1,-y)$，数量积为 $y^2-5$。

因为 $y^2\ge 0$ 且 $y=0$ 允许，故最小值为 $-5$，且仅在 $P=(2,0)$ 取到，选第四项。

解释为什么想到中点：令 $M=(0,0)$、$\mathbf{p}=\overrightarrow{MP}$、$\mathbf{a}=\overrightarrow{MA}$。因 $\overrightarrow{MB}=-\mathbf{a}$，原数量积为 $(\mathbf{a}-\mathbf{p})\cdot (-\mathbf{a}-\mathbf{p})=|\mathbf{p}{|}^2-|\mathbf{a}{|}^2=P{M}^2-9$。两个交叉项正好抵消。

直线上 $P{M}^2=4+y^2$，到中点最近的点就是垂足 $(2,0)$，因此仍得 $4-9=-5$。不能直接取整个平面上的最小值 $-9$。

范围是整条直线，$y=0$ 属于可行域；若删掉此点，只剩下确界 $-5$ 而无最小值。数量积允许为负，不能把它当成距离平方强加非负。在 $P=(2,0)$ 两向量均非零且反向，夹角为 $180^{\circ }$；$P$ 不等于 $A$ 或 $B$。

先代入 $t=2$，看第二个向量是否还非零。

夹角余弦的分母是 $|\mathbf{e}||\mathbf{v}|$；模长则要对数乘系数取绝对值。

由双线性，$\mathbf{e}\cdot \mathbf{v}=(t-2)|\mathbf{e}{|}^2$；因 $\mathbf{e}\ne 0$，模平方严格为正。

$t=2$ 时 $\mathbf{v}=0$，数量积为零，而 $\cos \theta =\frac{\mathbf{e}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{e}||\mathbf{v}|}$ 的分母为零，不能定义夹角，故选第一项。

$t>2$ 时两向量同向，夹角 $0^{\circ }$；$t<2$ 时反向，夹角 $180^{\circ }$。所有情况下都有 $|\mathbf{v}|=|t-2||\mathbf{e}|$。

本题的唯一零向量位置是 $t=2$；不能从一族中其余位置有夹角推断该点也有。有的代数约定把零向量视为与任意向量正交；本题只问几何夹角是否定义，不借此约定赋予零向量直角。若连 $\mathbf{e}$ 也放宽为零向量，则所有 $t$ 都没有此夹角，故非零假设必须写明。

先求 $P{H}^2=(2s-4{)}^2+(3-s{)}^2$，这样不用对根式直接求最值。

配方所得的顶点参数要与 $[0,1]$ 比较；不可行时还要检查允许的端点。

$\overrightarrow{HP}=(2s-4,3-s)$，所以 $P{H}^2=5s^2-22s+25=5(s-\frac{11}{5}{)}^2+\frac{4}{5}$。

若不受限制，顶点 $s=11/5$ 给出距离 $2/\sqrt{5}$。但 $11/5>1$，不是本题允许的参数。

对 $0\le s\le 1$，也可直接比较 $P{H}^2-8=5s^2-22s+17=(s-1)(5s-17)\ge 0$。两个因子在区间内均非正，且第二个因子始终为负，故只有 $s=1$ 取等。

此时 $P=(3,2)$，$PH=\sqrt{(3-5{)}^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，选第四项。平方根在非负数上递增，所以平方距离的最小点也是距离的最小点。

闭区间包含 $s=1$，最小值可以取到；若改成 $[0,1)$，只有下确界 $2\sqrt{2}$。整条直线的投影参数 $11/5$ 不能当作线段上的取等点。距离非负，最小平方值 $8$ 必须开平方；本题 $H$ 不在线段上，最小距离严格为正。