6.2 平面向量的运算

B。小船实际的位移既向北又向东，实际运动是船速与水速的合成。

因为正北与正东互相垂直，两个速度构成了直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，合速度大小为 \(\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{ m/s}\)。

如果水流也是正北方向，速度才是 \(4+3=7\text{ m/s}\)；如果水流正南顺流反冲，速度是 \(4-3=1\text{ m/s}\)。这说明：两个有方向的量相加，绝不能只把数字加在一起，而要由方向决定几何法则。

这一节我们就来系统搞清平面向量的四种核心运算：加法、减法、数乘以及数量积（内积）。

A。根据向量减法：\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)（共起点，指向被减向量）。

再做加法：\(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}\)（首尾相接，首指向尾）。

选 B 的同学减法终点指反了；选 C 的同学把相反向量和被减向量搞混了。

A。因为 \(C\) 在线段 \(AB\) 上且 \(AC=2CB\)，所以 \(\overrightarrow{AC}=\dfrac23\overrightarrow{AB}=\dfrac23(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\)。

代入 \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\dfrac13\overrightarrow{OA}+\dfrac23\overrightarrow{OB}\)。

直观技巧：点 \(C\) 更靠近 \(B\)，所以 \(\overrightarrow{OB}\) 权重更大（\(\dfrac23\)）。选 B 的同学把分比记混了。

B。由夹角公式：\(\cos\theta = \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \dfrac{-1}{1\times 2} = -\dfrac12\)。

因为向量夹角 \(\theta\in[0^\circ,180^\circ]\)，余弦为 \(-\dfrac12\) 的角只有 \(120^\circ\)。选 A 的同学算丢了负号，把钝角当成了锐角。

B。由三角形加法法则，\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)，再加上 \(\overrightarrow{CA}\)，首尾相接绕回起点 \(A\)，位移为零向量 \(\boldsymbol{0}\)。

注意：向量运算的结果依然是向量，必须写成零向量 \(\boldsymbol{0}\)，而不能写成实数 \(0\)！选 A 的同学混淆了向量与标量。

A。直接代入数量积定义：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos 60^\circ=3\times 4\times\dfrac12=6\)。

选 B 的同学错用了正弦 \(\sin 60^\circ\)（把数量积当成了三角形面积公式）；选 C 的同学漏乘了余弦值 \(\cos 60^\circ\)。

B。将等式移项：\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=0 \implies \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=0\)。

由数量积为 \(0\) 的充要条件，说明 \(\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})\)（或者 \(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}\) 即 \(\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}\)）。

边界提醒：向量数量积没有消去律，绝不能像实数乘法一样两边除以 \(\boldsymbol{a}\) 得出 \(\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}\)！只要 \(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\) 与 \(\boldsymbol{a}\) 垂直，\(\boldsymbol{b}\) 和 \(\boldsymbol{c}\) 就可以完全不相等。选 A 是把向量当成了实数。

B。充分性：若存在实数 \(\lambda\) 使得 \(\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}\)，则两向量必定共线平行，甲能推出乙。

必要性：若 \(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\)，当 \(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}\) 且 \(\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol{0}\) 时（零向量与任何向量平行），不存在任何实数 \(\lambda\) 能满足 \(\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}\)！因此乙推不出甲。

边界提醒：向量共线定理充要成立的红线是基准向量非零（\(\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}\)）。忽略零向量就会误选 A。

A。有向投影值（投影值）为 \(|\boldsymbol{a}|\cos 120^\circ = 4\times\left(-\dfrac12\right) = -2\)。

而投影长度是投影向量的模长（几何上线段的长度），绝不能为负，必须取绝对值：\(|-2|=2\)。

边界提醒：长度必非负，有向投影钝角为负。选 B 错在把长度写成了负数；选 C 错在把有向投影的符号丢了。

C。垂直即数量积为 \(0\)：\(\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-|\boldsymbol{a}|^2 = 0\)，所以 \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}|^2 = 1^2 = 1\)。

代入夹角公式：\(\cos\theta = \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \dfrac{1}{1\times 2} = \dfrac12\)。因为 \(\theta\in[0^\circ,180^\circ]\)，所以 \(\theta=60^\circ\)。

几何直观：\(\boldsymbol{a}\)、\(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\) 与 \(\boldsymbol{b}\) 构成以 \(\boldsymbol{b}\) 为斜边的直角三角形，直角边 \(|\boldsymbol{a}|=1\)，斜边 \(|\boldsymbol{b}|=2\)，夹角正是 \(60^\circ\)。