必修第二册 · 第 6 章平面向量及其应用

6.3 平面向量基本定理及坐标表示

给平面挑两个不共线的基准向量，任何向量都能被唯一分解；选单位正交基底，几何图形就彻底变成了有序数对——从此向量加减、求模、判定平行和垂直，全都可以由代数坐标代劳。

方格棋盘上，巡检无人机停在基准点 $O(0,0)$。它接收两种基础位移指令：$\boldsymbol{e}_1$（向东 $1$ 格）与 $\boldsymbol{e}_2$（向北 $1$ 格）。目标设备在点 $P(4,3)$。先独立判断，选择后再用按钮试飞。

下面四种指令组合，哪一种能使无人机从 $O$ 抵达 $P$？

1. 先认识几个词

要用到：向量加法的平行四边形法则、数乘向量与数量积（回看 6.2）；初中平面直角坐标系与勾股定理。

直觉微图解

基底形式 ①斜基底分解：任意不共线向量皆可作基

分解唯一：只要 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$ 不共线，任意向量 $\boldsymbol{a} = \lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2$ 的分解系数唯一确立；但绝不能直接套用勾股模长与点积公式，必须用数量积夹角展开。

基底形式 ②单位正交基底：坐标系与代数化的基石

运算极大简化：基向量互相垂直且模为 $1$（$\boldsymbol{i}\perp\boldsymbol{j}$）。向量直接化为有序数对 $(x, y)$，勾股模长 $|\boldsymbol{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ 与数量积 $x_1x_2+y_1y_2$ 畅通无阻。

基底与基向量：同一平面内两个不共线的向量 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$ 叫作该平面的一组基底，$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$ 叫作基向量。基向量绝不能共线，也不能是零向量。

例：向东 $1$ 格的 $\boldsymbol{e}_1$ 与向北 $1$ 格的 $\boldsymbol{e}_2$ 不共线，是一组基底；而 $(1, 0)$ 与 $(2, 0)$ 共线，不能当基底。

向量的坐标：在单位正交基底下，若 $\boldsymbol{a} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j}$，有序实数对 $(x, y)$ 就叫向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标，记作 $\boldsymbol{a} = (x, y)$。起点在原点 $O(0,0)$、终点在 $P(x, y)$ 时，$\overrightarrow{OP} = (x, y)$。

2. 核心公式与坐标法则

① 基本定理：平面内任意向量 $\boldsymbol{a} = \lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2$（$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$ 不共线，系数唯一）；
② 和差与数乘：$\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b} = (x_1\pm x_2, y_1\pm y_2)$，$\lambda\boldsymbol{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1)$；
③ 终点减起点：若 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，则 $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$；
④ 模长与点乘：$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{x^2+y^2}$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = x_1x_2 + y_1y_2$；
⑤ 垂直与共线判定（高考必背）：
• 垂直（$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol{0}$）：$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b} \iff x_1x_2 + y_1y_2 = 0$（同轴相乘相加等于 $0$）；
• 共线：$\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b} \iff x_1y_2 - x_2y_1 = 0$（交叉相乘相减等于 $0$）。

例 1（基底表示）

平行四边形 $ABCD$ 的对角线交于 $O$，$M$ 为 $BC$ 中点，$\vec{AB}=\boldsymbol{a},\vec{AD}=\boldsymbol{b}$。用这组基底表示 $\vec{AC},\vec{AO},\vec{AM}$。

波利亚四问：读懂 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。提示按需展开，思路可往返。

读懂：已知邻边向量和中点，求有方向的位移；图中没有直角条件。

提示 1：先找一条路

从 $A$ 到 $M$，能否先到 $B$？每段方向是否首尾相接？

提示 2：换成基向量

对边向量如何替换？中点与对角线交点带来什么比例？

看示范与回顾

想办法：沿路把位移拆成邻边方向。只需向量加法与数乘，无需长度和夹角。

执行：平行四边形法则给出 $\vec{AC}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$；对角线互相平分，$\vec{AO}=\tfrac12(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$；沿 $A\to B\to M$，$\vec{AM}=\vec{AB}+\tfrac12\vec{BC}=\boldsymbol{a}+\tfrac12\boldsymbol{b}$。

检查：$\vec{BC}=\vec{AD}$，方向相同；$\vec{AO}=\tfrac12\vec{AC}$。

回头看：若 $M$ 换成 $B$ 或 $C$，$\boldsymbol{b}$ 的系数分别变为 $0$、$1$，还原 $\vec{AB}$、$\vec{AC}$。换分点，沿路拆分仍适用。

自己试试：在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 是 $BC$ 边上的中点。若设 $\vec{AB} = \boldsymbol{c}, \vec{AC} = \boldsymbol{b}$，则中线向量 $\vec{AD} =$？

A。以 $AB, AC$ 为邻边作平行四边形 $ABEC$，对角线 $\vec{AE} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$。因为平行四边形对角线互相平分，中点 $D$ 正好是对角线中点，所以 $\vec{AD} = \dfrac{1}{2}\vec{AE} = \dfrac{1}{2}\boldsymbol{b} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{c}$。

例 2（坐标线性运算）

已知点 $A(1, 2), B(3, -1), C(-2, 4)$。

(1) 求向量 $\vec{AB}$ 和 $\vec{BC}$ 的坐标；(2) 求 $2\vec{AB} - 3\vec{BC}$ 的坐标。

解：

(1) 终点减起点：$\vec{AB} = (3-1, -1-2) = (2, -3)$；$\vec{BC} = (-2-3, 4-(-1)) = (-5, 5)$；

(2) $2\vec{AB} - 3\vec{BC} = 2(2, -3) - 3(-5, 5) = (4, -6) - (-15, 15) = (4 - (-15), -6 - 15) = (19, -21)$。

自己试试：已知点 $A(-1, 3)$，向量 $\vec{AB} = (4, -2)$，则终点 $B$ 的坐标为？

A。设 $B(x, y)$，由 $\vec{AB} = (x - (-1), y - 3) = (x+1, y-3) = (4, -2)$，解得 $x+1=4 \implies x=3$，$y-3=-2 \implies y=1$。故 $B(3, 1)$。选 B 的同学错当成了起点减终点；选 C 的同学把两点坐标直接加反了。

3. 典型例题：三步思维链精讲

例 3（位置关系判定·垂直与共线综合）

已知向量 $\boldsymbol{a} = (2, 3)$，$\boldsymbol{b} = (m, -2)$。

(1) 若 $\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}$，求实数 $m$；
(2) 若 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，求实数 $m$。

👀 看到什么 → 想什么

有两个不共线基向量 → 想用平面向量基本定理分解，比较两个系数。
题目给坐标并问平行、垂直或参数 → 分别用交叉差为 0、数量积为 0。

🔧 第二步·套公式拆解

① 共线判定：套用交叉差公式 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$：
$2\times(-2) - 3\times m = 0 \implies -4 - 3m = 0 \implies m = -\dfrac43$；
② 垂直判定：套用同乘和公式 $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$：
$2\times m + 3\times(-2) = 0 \implies 2m - 6 = 0 \implies m = 3$。

🛡️ 第三步·必查防坑点

① 共线是“交叉相乘作差”：$x_1y_2 - x_2y_1=0$，中间是减号；
② 垂直是“对应坐标相乘作和”：$x_1x_2 + y_1y_2=0$，中间是加号；
③ 负号带括号：$2\times(-2)=-4$，避免负号丢失。

自己试试：已知向量 $\boldsymbol{a} = (3, 4), \boldsymbol{b} = (x, -6)$。若 $\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}$，则 $x$ 的值为？

C。套用共线公式 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$：$3\times(-6) - 4\times x = 0 \implies -18 - 4x = 0 \implies x = -\dfrac{9}{2}$。选 B 的同学误用了垂直公式 $3x + 4(-6) = 0$；选 D 的算漏了负号。

例 4（夹角与投影）：已知 $\boldsymbol{a}=(4,2)$、$\boldsymbol{b}=(1,3)$，求两向量的夹角及 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 上的投影向量。

本题两向量非零，夹角有定义。投影方向要求 $\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}$，用 $\mathrm{proj}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{b}=\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|^2}\boldsymbol{a}$；下方视频还会检查负投影变式，区分投影向量、有向投影值与投影长度。

4. 这三种情况最容易翻车

翻车现场 ①共线公式与垂直公式彻底记反

错解

共线写成 $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$，或者垂直写成 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$。

正解

垂直源于数量积为 0，是同轴乘积之和：$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$；共线源于面积为 0，是交叉乘积之差：$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$。

翻车现场 ②共线判定盲目套用除法形式

错解

写出 $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$，遇到坐标为 $0$ 时直接除以 $0$ 崩溃。

正解

反例：$\boldsymbol{a}=(0, 2)$ 与 $\boldsymbol{b}=(0, 4)$ 都在 $y$ 轴上共线，但除法 $\frac{0}{0}=\frac{2}{4}$ 无意义！永远使用整式交叉差 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$。

翻车现场 ③斜基底下误套勾股与点积公式

错解

在两基向量的模均为 $1$、夹角为 $120^\circ$ 的基底下，对 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2$ 算模长直接写 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。

正解

勾股公式与数量积坐标公式严格依赖单位正交基底！斜基底真实模长为 $\sqrt{|\boldsymbol{e}_1|^2 + 2\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_2 + |\boldsymbol{e}_2|^2} = 1$，必须数量积展开。

再深一点（可以先跳过）

为什么交叉差 $x_1y_2-x_2y_1=0$ 能判断两向量共线？把它看作有向面积时，零向量情形如何理解？

展开思路与核对

为什么共线是交叉相乘之差：二阶行列式 $\begin{vmatrix}x_1 & y_1\\ x_2 & y_2\end{vmatrix} = x_1y_2 - x_2y_1$ 的几何意义是以 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形的有向面积。面积等于 $0$，说明平行四边形压成了一条线段，两向量自然共线。

若其中一个向量为零，面积仍为零，按本节约定零向量与任意向量共线。

① 基础：平面直角坐标系中的双向量与判定器

拖动墨绿点 $A(x_1, y_1)$ 改变向量 $\boldsymbol{a}$，拖动赤金点 $B(x_2, y_2)$ 改变向量 $\boldsymbol{b}$。观察下方坐标、模长、数量积与判定式徽章的实时计算。键盘操作：Tab 选中端点，方向键每次移动 $1$ 个单位。

向量 $\boldsymbol{a}$（墨绿）

坐标：(3, 2)，模长：$\sqrt{13} \approx 3.61$

向量 $\boldsymbol{b}$（赤金）

坐标：(-2, 3)，模长：$\sqrt{13} \approx 3.61$

数量积 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$

$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$

垂直判定：垂直 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$

共线判定：不共线（可作基底）

共线判定式：$x_1y_2 - x_2y_1 = 3\times 3 - (-2)\times 2 = 9 - (-4) = 13 \ne 0$

垂直判定式：$x_1x_2 + y_1y_2 = 3\times(-2) + 2\times 3 = -6 + 6 = 0$

② 进阶：斜基底 vs 直角基底（为什么斜基底不能套勾股？）

设单位基底 $|\boldsymbol{e}_1|=1, |\boldsymbol{e}_2|=1$，夹角为 $\theta$。观察合成向量 $\boldsymbol{v} = 2\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2$ 的真实模长与误套直角坐标勾股公式算出的假模长。拖动滑块改变夹角 $\theta$：

基底夹角 $\theta$： 60°

真实模长 $|\boldsymbol{v}|$（余弦数量积求模）

$\sqrt{8 + 8\cos 60^\circ} = \sqrt{12} \approx 3.46$

误套直角勾股算出的假模长

$\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2.83$

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是专题卡里的高频边界，最后一道是综合挑战。

直接用

1. 已知点 $A(-1, 2), B(2, 6)$，则向量 $\vec{AB}$ 的模长 $|\vec{AB}|$ 等于？

A。由终点减起点得 $\vec{AB} = (2 - (-1), 6 - 2) = (3, 4)$。由模长公式：$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$。选 C 的同学横坐标忘了减去负号（误算成了 $2 - 1 = 1$）；选 D 的同学忘了开平方。

2. 已知向量 $\boldsymbol{a} = (2, 3), \boldsymbol{b} = (-6, x)$。若 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则实数 $x =$？

B。两非零向量垂直充要条件是数量积为 $0$：$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b} \iff x_1x_2 + y_1y_2 = 0$。代入得 $2\times(-6) + 3\times x = 0 \implies -12 + 3x = 0 \implies x = 4$。选 A 的同学混淆了共线与垂直公式（误算了 $2x - 3(-6) = 0$）；选 C 的符号算错。

易错

3. 已知向量 $\boldsymbol{a} = (0, 3)$ 与 $\boldsymbol{b} = (m, -6)$ 共线，则实数 $m =$？

B。牢记共线充要条件是交叉相乘之差为 0：$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$。

代入得 $0\times(-6) - m\times 3 = 0 \implies -3m = 0 \implies m = 0$。此时 $\boldsymbol{b} = (0, -6) = -2\boldsymbol{a}$，两向量都在 $y$ 轴上，完全共线。如果套用“坐标相除”$\dfrac{0}{m} = \dfrac{3}{-6}$，就会陷入分母为 0 的困境甚至误选 A。

4. 下列各组向量中，不能作为平面向量一组基底的是？

B。基底的数学前提是两个不共线的向量。检查 B 选项：$2\times 6 - (-3)\times(-4) = 12 - 12 = 0$，即 $\boldsymbol{e}_2 = -2\boldsymbol{e}_1$，两向量在同一直线上（共线），无法分解出垂直于该直线方向的分量，因此不能作为基底。其余三组交叉相乘之差均不为 $0$，两向量互不共线，都是合格基底。

5. 已知平面基底 $\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}$ 满足 $|\boldsymbol{e}_1| = 1, |\boldsymbol{e}_2| = 1$，且 $\boldsymbol{e}_1$ 与 $\boldsymbol{e}_2$ 的夹角为 $60^\circ$。若向量 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$，则模长 $|\boldsymbol{a}| =$？

B。选 A 的同学直接套用了直角坐标勾股公式 $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，这是大忌！只有在单位正交基底（夹角为 $90^\circ$）下勾股公式才成立。这里夹角是 $60^\circ$，必须求模平方：$|\boldsymbol{a}|^2 = (\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2)^2 = |\boldsymbol{e}_1|^2 + 2\boldsymbol{e}_1\cdot\boldsymbol{e}_2 + |\boldsymbol{e}_2|^2 = 1 + 2\times 1\times 1\times\cos 60^\circ + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$，开方得 $|\boldsymbol{a}| = \sqrt{3}$。

挑战

6. 点 $O$ 为平面内任一点，向量 $\vec{OP} = x\vec{OA} + y\vec{OB}$（其中 $O, A, B$ 三点不共线）。则点 $A, P, B$ 三点共线的充要条件是？

需要一点方向提示？

把共线写成 $\vec{AP}=t\vec{AB}$，再把两边都换成从 $O$ 出发的向量。为什么能比较系数？

A。这是经典的向量三点共线定理。推导如下：

$A, P, B$ 共线 $\iff \vec{AP} = t\vec{AB}$ $\iff \vec{OP} - \vec{OA} = t(\vec{OB} - \vec{OA})$ $\iff \vec{OP} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}$。令 $x = 1-t, y = t$，立得 $x + y = 1$。

反过来，只要基底前面的两个系数之和等于 $1$，终点 $P$ 就必然落在过 $A, B$ 的直线上。

回顾变式：若要求 $P$ 在线段内部，还须 $x,y>0$；系数和为 $1$ 也允许端点和延长线。比较系数依据基底分解唯一。

本节高考真题

共 41 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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先修回顾 · 初中数学

学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：

初中 · 9.2 坐标方法的简单应用初中用横纵坐标加减描述点的平移 $(x+a,y+b)$，在高中直接升级为平面向量的正交分解与坐标线性运算。

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一试延伸

学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。

向量的概念与运算向量的数量积与几何意义参数方程与极坐标双曲线

打开一试专题地图，还有 1 个专题也以这一节为先修

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