选择性必修第一册 · 第 1 章空间向量与立体几何

1.1 空间向量及其运算

把平面向量的加减、数乘和数量积搬到空间：法则不变，新多出来的问题是三个向量共不共面。这一节学这些运算，以及怎样用它们算长度、判垂直。

3D 舞台：转着看平行六面体法则 a + b + c、拖出共面条件、在正方体里量向量的夹角 →

无人机从起飞点向东飞 12 米，再向北飞 5 米，最后向上飞 9 米。

终点离起飞点的直线距离约是多少？先猜一猜。

1. 先认识几个词

要用到：平面向量概念与加减法（回看 6.1、6.2）；空间两条直线的位置关系（回看 8.4）。

课本用词：三维空间里的加减、数乘和数量积法则与平面相同；讨论夹角和垂直时，参与的向量必须是非零向量。

伴读直觉微图解：空间自由向量平移、折线回路与数量积

空间自由向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的模（或长度），记作 $|\boldsymbol{a}|$。向量只由大小与方向决定，与起点位置无关，可以在三维空间中自由平行移动。

例：正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，底面棱向量 $\overrightarrow{AB}$ 与顶面平行棱向量 $\overrightarrow{D_1C_1}$，长度相等且方向相同，它们是同一个向量，即 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D_1C_1}$。

空间任意两向量必共面：两条空间直线可以既不平行也不相交（异面直线），但向量绝没有“异面”之说！任意给定空间中两个向量，只要把它们的起点平移到同一点 $O$，两条有向线段必落在同一个平面内（或在同一条直线上）。

例：正方体中异面棱 $AB$ 与 $CC_1$，其向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CC_1}$ 将起点平移到 $B$ 后为 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BB_1}$，都在侧面 $ABB_1A_1$ 内。因此：空间任意两个向量一定共面。

空间向量的夹角：两个非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 平移到同一起点 $O$，它们所成的较小非负角叫做夹角，记作 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$，规定范围为 $[0, \pi]$（即 $0^\circ \le \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \le 180^\circ$）。

例：同向夹角为 $0$，互相垂直夹角为 $90^\circ$，反向夹角为 $180^\circ$。若 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0$ 且两向量非零，则 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$。

投影向量与投影数量：先要求 $\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol0$，设 $\boldsymbol{e}=\dfrac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$。$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影向量为 $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{e})\boldsymbol{e}=\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}$；投影数量是实数 $\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$。当 $\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol0$ 时，也等于 $|\boldsymbol{a}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$；$\boldsymbol{a}=\boldsymbol0$ 时投影为零，不使用未定义的夹角。

例：若 $|\boldsymbol{a}|=4$，夹角为 $60^\circ$，则在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影数量为 $4\cos 60^\circ = 2$，投影向量是沿 $\boldsymbol{b}$ 方向长度为 $2$ 的向量。

核心辨析空间直线（定着） vs 空间向量（自由）

空间直线：位置固定，可以既不相交也不平行（异面直线）。

空间向量：只认大小和方向，与位置无关，可自由平移。任意两向量平移至同一起点后必落在同一平面内，空间绝无异面向量！

结论：异面直线所成的角，本质就是两直线方向向量夹角（或其补角）。

运算警戒数量积分配律 vs 结合律不成立

分配律恒成立：$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) = \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}$（三维空间线性有效）。

数量积不能套用结合律：$(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$ 与 $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})$一般不相等。例：$\boldsymbol a=(1,0,0),\boldsymbol b=(1,1,0),\boldsymbol c=(0,1,0)$，左边为 $(0,1,0)$，右边为 $(1,0,0)$。特殊取值也可能相等，例如 $\boldsymbol a=\boldsymbol c$；结果为零时不能讨论其方向。

警惕：数量积运算绝不可约去！$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} \not\implies \boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$。

数量积定义：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \color{#2563eb}{|\boldsymbol{a}|} \times \color{#059669}{|\boldsymbol{b}|} \cos\color{#d97706}{\theta}$
空间垂直充要条件：$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \color{#dc2626}{0}$ （$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol{0}$）
空间折线加法：$\overrightarrow{A_1A_n} = \sum_{i=1}^{n-1} \color{#2563eb}{\overrightarrow{A_iA_{i+1}}}$，封闭空间多边形回路总和恒为 $\color{#059669}{\boldsymbol{0}}$

2. 加减法与折线回路

意思：空间向量的加法、减法、数乘，规则和平面里一样。为什么：任意两个向量平移到同一起点后落在同一个平面内，两个向量相加就是在这个平面里用平面向量的法则；三个以上的向量，一个一个往上加即可。

三角形法则（首尾相接）：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$；减法：$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$（终点减起点）。
平行四边形法则（共起点）：$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ 是以 $OA, OB$ 为邻边的平行四边形的对角线向量。
折线回路：首尾相接、最后回到出发点的一串向量，和是零向量： $$\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + \cdots + \overrightarrow{A_nA_1} = \boldsymbol{0}$$
平行六面体法则：以 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ 为三条棱作平行六面体，从 $O$ 出发的体对角线向量 $$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$$

首尾相接，结果从第一个起点指向最后一个终点；绕一圈回到起点，和是 $\boldsymbol{0}$。

例 1（看一遍怎么写）

在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，化简：

(1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CC_1} - \overrightarrow{DA}$；(2) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{B_1D_1} + \overrightarrow{D_1A}$。

解：

(1) 减去一个向量等于加上它的相反向量：$-\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD}$。所以

$$\begin{aligned}\text{原式} &= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{CC_1}\\ &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AC_1}\end{aligned}$$

第一步是底面上的平行四边形法则，第二步是三角形法则。也可以看成：$\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1}$，三条共起点的棱相加，得体对角线 $\overrightarrow{AC_1}$。

(2) 四个向量首尾相接：$A \to B \to B_1 \to D_1 \to A$，最后回到出发点 $A$，是一条闭合折线，所以原式 $= \boldsymbol{0}$。

自己试试：在空间四面体 $O-ABC$ 中，点 $M$ 是棱 $BC$ 的中点，化简 $\overrightarrow{OM} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}$ 的结果是？

A。在 $\triangle OBC$ 中，$M$ 是 $BC$ 中点，$\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$，代入后正好减完，结果是零向量 $\boldsymbol{0}$。

常见算错：选 B。向量减向量，结果还是向量，要写 $\boldsymbol{0}$；实数 $0$ 是数，不是向量。

3. 共线向量与共面向量定理

意思：判断三点共线、四点共面，就看一个向量能不能用别的向量“伸缩再相加”表示出来。为什么：和 $\boldsymbol{b}$ 平行的向量只是把 $\boldsymbol{b}$ 拉长、缩短或反向；两个不共线的向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 伸缩后相加，只能走遍它们所在的那个平面。

共线向量定理：$\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol{0}$ 时，$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b} \iff$ 存在唯一实数 $\lambda$，使 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$。
共面向量定理：$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 不共线时，$\boldsymbol{p}$ 与 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 共面 $\iff$ 存在唯一实数对 $(x, y)$，使 $\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$。
四点共面：$A, B, C$ 不共线，点 $O$ 在平面 $ABC$ 外。若 $$\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$$ 则 $P$ 在平面 $ABC$ 上 $\iff x + y + z = 1$（为什么见 1.2 第 4 块）。

共线：$\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$；共面：$\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$（$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 不共线）。用平面外一点 $O$ 展开时，四点共面 $\iff$ 系数和 $= 1$。

例 2

(1) 已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 不共线，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BC} = k\boldsymbol{a} + 6\boldsymbol{b}$。若 $A, B, C$ 三点共线，求 $k$。

(2) $A, B, C$ 不共线，点 $O$ 在平面 $ABC$ 外，$\overrightarrow{OP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB} + m\overrightarrow{OC}$。若点 $P$ 在平面 $ABC$ 上，求 $m$。

解：

(1) $A, B, C$ 共线，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 共线。$\overrightarrow{AB} \ne \boldsymbol{0}$，所以存在 $\lambda$ 使 $\overrightarrow{BC} = \lambda\overrightarrow{AB}$：

$$k\boldsymbol{a} + 6\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a} - 2\lambda\boldsymbol{b}$$

$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 不共线，两边系数对应相等：$k = \lambda$，$6 = -2\lambda$。所以 $\lambda = -3$，$k = -3$。

(2) $O$ 在平面外，$P$ 在平面 $ABC$ 上，系数和为 $1$：

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + m = 1$$

所以 $m = 1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$。

自己试试：$A, B, C$ 不共线，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$。点 $P$ 与平面 $ABC$ 的关系是？

B。$\overrightarrow{AP}$ 已经写成了不共线的 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ 的组合，由共面向量定理，$\overrightarrow{AP}$ 与它们共面；三个向量又都从 $A$ 出发，所以 $P$ 在平面 $ABC$ 上。

常见算错：算 $2 + (-3) = -1 \ne 1$，就选 D。“系数和为 1”只用在从平面外一点 $O$ 出发、写成 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ 三项的式子；这里是从 $A$ 出发的两项式子，系数取什么都共面。

4. 数量积与长度、角度、垂直

意思：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$，定义和平面里一样。为什么能照搬：两个向量平移到同一起点后在同一平面内，夹角就在这个平面里量。有了它，长度、角度、垂直都能算：

垂直：$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 非零时，$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0$。
长度：$|\boldsymbol{a}|^2 = \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}$，所以 $|\boldsymbol{a}| = \sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}$。
夹角：$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 非零时，$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$。

做法：把要求的向量拆成几个“长度、夹角都知道”的向量，再展开。两个基向量不垂直时，展开后的交叉项 $2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ 不是 $0$，必须留着。

求长度先平方：$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2$，交叉项别丢。

例 3

正四面体 $A-BCD$ 的棱长都是 $2$。(1) 求 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$，说明 $AB$ 与 $CD$ 的位置关系；(2) 求 $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}|$。

解：

(1) 用从 $A$ 出发的棱来拆：$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}$。

$$\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} &= \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\\ &= \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\end{aligned}$$

每个面都是等边三角形，从 $A$ 出发的两条棱夹角 $60^\circ$：

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 2\times 2\times\cos 60^\circ = 2$$

所以 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} = 2 - 2 = 0$。两个向量都非零，$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CD}$：正四面体的对棱互相垂直（它们是异面直线，垂直指所成角为 $90^\circ$）。

(2) 先算平方，交叉项由 (1) 得 $0$：

$$\begin{aligned}|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}|^2 &= |\overrightarrow{AB}|^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} + |\overrightarrow{CD}|^2\\ &= 4 + 0 + 4 = 8\end{aligned}$$

所以 $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

自己试试：空间向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}| = 3$，$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 60^\circ$。$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 等于？

A。$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 2\times 3\times\cos 60^\circ = 3$。

$$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = 4 - 2\times 3 + 9 = 7$$

所以 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = \sqrt{7}$。

常见算错：选 B 是丢了交叉项（$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 不垂直，$2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} \ne 0$）；选 C 是交叉项符号写成了加号；选 D 是把长度直接相减 $3 - 2$。

5. 三步破题思维链：空间向量解题标准动作

👀 第一眼破题信号

① 看到垂直、共面、夹角或长度问题，且关系沿棱或折线拼接 → 想到选同一顶点引出的不共面向量作基底。
② 目标线段能由几条已知向量首尾相接 → 想到先线性表示，再用数量积或模长判断。

🔧 第二步套公式/方法

① 用基底线性表示目标线段向量：利用首尾折线回路拆分；
② 数量积求角或证垂直：代入 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$ 展开代数式，判定是否为 0；
③ 求线段长度：套用“求模先平方”公式 $|\boldsymbol{v}|^2 = \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}$，展开所有交叉项后开方。

🛡️ 第三步必查防坑结论

检查两向量不垂直时展开模方是否保留了交叉项 $2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$；向量夹角 $\theta\in[0,\pi]$，但两条异面直线所成角范围为 $(0,\frac{\pi}{2}]$，钝角需取补角；数量积相等不可直接约去！

6. 常见易错点与反例辨析

翻车现场 1：误以为空间向量可以“异面”

❌ 正方体中 $AB$ 与 $CC_1$ 异面，误认为向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CC_1}$ 也“异面无法合成”

✔ 向量可自由平行移动，将 $\overrightarrow{CC_1}$ 平移为 $\overrightarrow{BB_1}$ 后同在平面 $ABB_1A_1$ 内，必共面

翻车现场 2：数量积等式随意盲目约去

❌ 已知 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}$（$\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}$），误直接约去得 $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$

✔ 移项得 $\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=0$，完全可能 $\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$ 而 $\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol{c}$

翻车现场 3：模方展开遗漏非垂直交叉项

❌ 计算 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2$ 时，直接算成 $|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2$

✔ 一般基底下夹角非直角，必须完整保留交叉项 $2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$

反例微图解：异面直线向量平移共面图解（打破“异面向量”幻觉）

正方体中两条红线虽空间异面，但将方向向量平移到公共顶点 B 后，瞬时共面相交，构成平面夹角！

再深一点（可以先跳过）

空间里四个向量，为什么总有一个能用另外三个表示？如果四个向量全在一个平面内呢？

展开思路与核对

若其中三个不共面，就由空间向量基本定理表示第四个。若全共面且有两个不共线，就用这两个表示另一个，其余向量系数取零；若全共线且有非零向量，就用它表示另一个；若全为零，取所有系数为零即可。下一节空间向量基本定理会进一步讨论。

① 空间向量 3D 斜测透视交互台

在三维空间直观体验向量的几何运算法则。在下方切换观察“加法平行四边形/三角形”、“数量积与空间夹角 $\theta$”以及“投影向量”。可拖动滑块改变向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的空间分量：

向量 $\boldsymbol{a}$（松绿）向量 $\boldsymbol{b}$（黛蓝）运算结果（合向量 / 投影）

向量 $\boldsymbol{a}$ 空间分量

横向 $x$3

进深 $y$1

垂直 $z$3

向量 $\boldsymbol{b}$ 空间分量

横向 $x$2

进深 $y$4

垂直 $z$0

支持方向键精细调节分量，极端零向量测试不报错。

从易到难排好了。前两道直接运用，中间两道攻坚易错红线，最后一道挑战综合几何。

直接用

1. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，化简空间折线回路向量表达式 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{D_1A_1}$ 的结果是？

A。逐步相加：前三项首尾相连 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AC_1}$。在正方体顶面中，棱向量 $\overrightarrow{D_1A_1} = \overrightarrow{C_1B_1}$。故原式 $= \overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{C_1B_1} = \overrightarrow{AB_1}$。

2. 已知空间向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=2, |\boldsymbol{b}|=3$，且 $(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\perp (2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$。则数量积 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ 的值为？

A。由垂直充要条件，两向量数量积为 0：

$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = 2\boldsymbol{a}^2 + 3\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{b}^2 = 0$。

代入模长 $|\boldsymbol{a}|=2, |\boldsymbol{b}|=3$：$2\times 4 + 3\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} - 2\times 9 = 0 \implies 8 + 3\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} - 18 = 0 \implies 3\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 10$，解得 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \dfrac{10}{3}$。

易错

3. 下列关于空间向量概念与共面性的命题中，正确的是哪一个？

C。逐项辨析核心边界：

C 正确：空间向量是自由向量，平移到同一起点后必在同一平面内，空间中绝对不存在“异面向量”。

A 错误：直线可以异面，但向量可自由平移，不存在异面向量概念。

B 错误：两两不共线不等于不共面！例如正三角形的三边向量两两不共线，但完全共面。

D 错误：取 $O=(0,0,0),A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)$，得 $P=(1/2,1/3,1/4)$ 不在 $ABC:x+y+z=1$ 内。该判据须 $A,B,C$ 不共线、$O$ 在面外。

4. 设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 是空间中三个非零向量，下列运算律中恒成立的是：

C。辨析数量积的关键边界：

C 恒成立：两向量已知非零，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0 \iff \cos\theta=0 \iff \theta=90^\circ \iff \boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$。

A 错误：数量积没有消去律！$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=0$ 可能是 $\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$，不能推得 $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$。

B 不恒成立：例如 $\boldsymbol a=(1,0,0),\boldsymbol b=(1,1,0),\boldsymbol c=(0,1,0)$，两边分别为 $(0,1,0)$ 和 $(1,0,0)$。这说明不能套用结合律，并不表示任意取值都不相等。

D 错误：夹角可能是 $180^\circ$（反向平角），平角不是钝角。

挑战

5. 在棱长为 $2$ 的正四面体 $A-BCD$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $AB, CD$ 的中点。则对棱中点连线段 $EF$ 的长度（即向量模长 $|\overrightarrow{EF}|$）为：

B。选定基底 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$，模长均为 2，两两夹角为 $60^\circ$，两两数量积为 $2\times 2\times\cos 60^\circ = 2$。

$\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AF} = \dfrac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$，故 $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})$。

展开求模平方：

$$|\overrightarrow{EF}|^2 = \frac{1}{4}\left(\boldsymbol{b}^2+\boldsymbol{c}^2+\boldsymbol{a}^2 + 2\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c} - 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\right) = \frac{1}{4}(4+4+4 + 4 - 4 - 4) = 2$$

故线段长 $|\overrightarrow{EF}| = \sqrt{2}$。

本节高考真题

共 1 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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一试延伸

学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。

空间角与距离

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