2008 年安徽预赛 · 第 4 题

解答

设四面体体积为 $V>0$。对每个面取单位外法向量，再乘该面的面积，记所得四个非零向量为 $N_A,N_B,N_C,N_D$，下标表示该面所对的顶点。 先证明

考察向量 $\overrightarrow{AB}$。它从顶点 $A$ 指向对面 $BCD$，故沿该面的外向法线投影为正的对应高；从面 $ACD$ 指向内侧顶点 $B$，沿该面的外向法线投影为负。因此由棱锥体积公式，

其余两面含有棱 $AB$，对应点积均为零。因此四向量之和与 $\overrightarrow{AB}$ 垂直。同理它与 $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ 都垂直；这三个向量线性无关，遂得(1)。

相邻两面的内二面角为 $\delta$ 时，两外法向量的夹角为 $\pi -\delta$，所以该内二面角钝当且仅当相应两面积法向量的点积为正。 对任一 $N_i$，由(1)有

故它与另外三个向量中至少一个的点积为负。 若六个两两点积中至少四个为正，则剩下至多两个不为正的配对必须覆盖四个标号。因此只能恰好四个为正，另外两个负配对互不相交。重标号后可设负配对为 $\{1,2\}$ 与 $\{3,4\}$，其余四个跨组点积都严格为正。于是

但(1)使左边等于 $-|N_1+N_2{|}^2\le 0$，矛盾。故钝二面角至多三个。

为证明此上界可达，取

这是底面等边且高度为 $1/2$ 的非退化四面体。三个侧面的外向法向量可取

相应平面为 $n_i\cdot X=1/2$，四面体位于不超过 $1/2$ 的一侧，故这些方向确为外向。底面的外法向量可取 $n_0=(0,0,-1)$。三个侧面法向量两两点积都为 $1/2>0$，而 $n_0\cdot n_i=-1<0$。所以恰有三个钝二面角。 所求最大个数为 $\boxed{3}$，选 A。