必修第二册 · 第 8 章立体几何初步

8.5 空间直线、平面的平行

对同类对象，平行表示没有公共点；两条直线还必须先确认共面，否则可能是异面。解决立体几何平行问题的关键，是建立一套升维与降维的转化回路：线线平行 ⇄ 线面平行 ⇄ 面面平行。牢记判定与性质定理中不可漏掉的边界条件。

3D 舞台：拖动 E 看线面平行何时成立，两个对角截面为何平行，平行平面被截出平行交线 →

在宽敞的教室里，抬头看天花板上的日光灯管 $a$，低头看脚下的水平地面 $\alpha$。灯管所在直线 $a$ 与地面墙角的踢脚线 $b$ 互相平行。先独立判断，选择后再对比两种灯管摆放方式。

如果将天花板上与踢脚线平行的灯管直线 $a$ 两端在空间中无限延伸，它会穿过地面或与地面相交吗？

1. 先认识几个词

要用到：8.4 空间位置关系（回看 8.4）；初中平行四边形与三角形中位线。以长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 为直观模型。

课本用词：两条直线要“共面且无公共点”才叫平行；不共面的两条直线应写“异面”，不能直接判为平行。

直观微图解

空间平行三位一体：线线平行 ⇄ 线面平行 ⇄ 面面平行，向右用判定，向左用性质。

线面平行判定由内向外（线线 ⇒ 线面）

破题抓手：在平面 $\alpha$ 内部找一条基准引路线 $b$。

必备三要件：① $a \not\subset \alpha$（面外）；② $b \subset \alpha$（面内）；③ $a \parallel b$（线线平行）。

结论推导：三者缺一不可，严密导出 $a \parallel \alpha$。

线面平行性质由外向内（线面 ⇒ 线线）

破题抓手：过已知平行线 $a$ 作一个辅助截面 $\beta$ 截出交线。

必备三要件：① $a \parallel \alpha$（线面已知平行）；② $a \subset \beta$（截面含线）；③ $\alpha \cap \beta = b$（截出交线）。

结论推导：严密导出目标交线必与已知线平行：$a \parallel b$。

直线与平面的三种位置：在面内（无数交点）、相交（恰 1 交点）、平行（0 交点）。后两者合称“在面外”（$a \not\subset \alpha$）。

两平面平行（$\alpha \parallel \beta$）：两平面公共点个数为 0。两个不重合的平面若有公共点，则交于一条唯一交线。

2. 线面平行判定：线线平行 ⇒ 线面平行

$$\left.\begin{aligned} &a \not\subset \alpha \quad (\text{线在面外}) \\ &b \subset \alpha \quad (\text{引路线在面内}) \\ &a \parallel b \quad (\text{两直线平行}) \end{aligned}\right\} \implies a \parallel \alpha$$

最易遗漏条件：$a \not\subset \alpha$！若本就在面内，则为线在面内，不能叫平行。

示范例题（看一遍怎么写）

三棱锥 $P-ABC$ 中，$M,N$ 分别是 $PA,PC$ 的中点。证明：$MN \parallel$ 平面 $ABC$。

① 找面内引路线：在 $\triangle PAC$ 中，由中位线定理，$MN \parallel AC$。

② 写齐三要件：$MN \not\subset$ 平面 $ABC$，$AC \subset$ 平面 $ABC$，$MN \parallel AC$。

③ 下结论：由线面平行判定定理，$MN \parallel$ 平面 $ABC$。

自己试试：在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $AB, CD$ 的中点。直线 $EF$ 与平面 $A_1B_1C_1D_1$ 的位置关系是？

B。底面是正方形，$E,F$ 是对边中点，所以 $EF \parallel BC$；又 $BC \parallel B_1C_1$，由基本事实 4，$EF \parallel B_1C_1$。

$B_1C_1 \subset$ 平面 $A_1B_1C_1D_1$，$EF \not\subset$ 平面 $A_1B_1C_1D_1$，由判定定理，$EF \parallel$ 平面 $A_1B_1C_1D_1$。

选 D 的同学把词用错了：“异面”只说两条直线，直线和平面之间只有在面内、相交、平行三种。

3. 线面性质定理与三步思维链

$$\left.\begin{aligned} &a \parallel \alpha \quad (\text{已知线面平行}) \\ &a \subset \beta \quad (\text{辅助截面过该线}) \\ &\alpha \cap \beta = b \quad (\text{截出交线}) \end{aligned}\right\} \implies a \parallel b$$

核心本质：线面平行不能保证面内每条线都平行（很多是异面直线），只有包含该线的截面截出的交线才必与该线平行！

典型题三步思维链：判定与性质连环扣（求证交线平行）

题目：四棱锥 $P-ABCD$ 底面是平行四边形，平面 $PAD$ 与平面 $PBC$ 的交线为 $l$。证明：$l \parallel BC$。

👀 看到什么 → 想什么：

看到直线 $a$ 与面内直线 $b$ 平行 → 先核对 $a\not\subset\alpha$ 且 $b\subset\alpha$，两项前提齐全后再用线面平行判定。
问交线或平面间的平行性质 → 找公共截面，把空间关系落到同一平面内证明。

🔧 第二步套公式/方法（判定转性质）：

① 由线线证线面平行：在底面中 $BC \parallel AD$，而 $AD \subset$ 平面 $PAD$，$BC \not\subset$ 平面 $PAD$。由线面平行判定定理，得 $BC \parallel$ 平面 $PAD$。

② 锁定辅助截面：已知 $BC \parallel$ 平面 $PAD$，而 $BC$ 恰好在侧平面 $PBC$ 内，平面 $PBC$ 与平面 $PAD$ 相交于直线 $l$。

③ 由线面性质推线线平行：满足性质定理三要件，立即得出交线必平行：$BC \parallel l$！

🛡️ 第三步必查防坑结论： ① 辅助截面必须同时包含该线 $BC$ 并与目标平面相交；
② 绝不能盲目把 $BC$ 与平面 $PAD$ 内的其它线（如 $PA, PD$）当下结论，它们在空间都是异面直线！

自己试试：长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$A_1B_1 \parallel$ 平面 $ABCD$。过 $A_1B_1$ 的平面 $A_1B_1CD$ 与平面 $ABCD$ 相交。由性质定理，$A_1B_1$ 一定平行于哪条直线？

A。平面 $A_1B_1CD$ 与平面 $ABCD$ 的公共点是 $C,D$，交线就是 $CD$，所以 $A_1B_1 \parallel CD$。

选 D 是最常见的错：线面平行只保证和面内直线“没有公共点”，$A_1B_1$ 和 $BC$、$AC$ 都是异面直线，不平行。性质定理只给出那条交线。

4. 面面平行的判定与性质

$$\color{#d97706}{\text{面面判定（相交线锁死）：} \left.\begin{aligned} &a \subset \beta, b \subset \beta \\ &a \cap b = P \quad (\textbf{两条相交直线}) \\ &a \parallel \alpha, b \parallel \alpha \end{aligned}\right\} \implies \beta \parallel \alpha}$$ $$\color{#059669}{\text{面面性质（第三面截割）：} \left.\begin{aligned} &\alpha \parallel \beta \\ &\gamma \cap \alpha = a \\ &\gamma \cap \beta = b \end{aligned}\right\} \implies a \parallel b}$$

注意：一条线平行推不出面面平行（门页可绕轴旋转而与另一平面相交）；两条平行线也推不出（仍可能出现两面相交）；必须是两条相交直线。

示范例题（正方体面对角线三角形面面平行）

正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求证：平面 $A_1BD \parallel$ 平面 $B_1CD_1$。

① 取平面 $A_1BD$ 内第一条线 $A_1D$：因为 $A_1D \parallel B_1C$，$B_1C \subset$ 平面 $B_1CD_1$，$A_1D \not\subset$ 平面 $B_1CD_1$，所以 $A_1D \parallel$ 平面 $B_1CD_1$。

② 取第二条相交线 $BD$：因为 $BD \parallel B_1D_1$，同理可证 $BD \parallel$ 平面 $B_1CD_1$。

③ 两线在平面 $A_1BD$ 内相交于点 $D$（$A_1D \cap BD = D$）。

④ 由面面平行判定定理，平面 $A_1BD \parallel$ 平面 $B_1CD_1$。

自己试试：正方体中，平面 $A_1BC_1$ 与下底面 $ABCD$ 有公共点 $B$。它们的交线平行于哪条直线？

A。上底面 $\parallel$ 下底面，平面 $A_1BC_1$ 截上底面得交线 $A_1C_1$，由性质定理，它截下底面的交线（过 $B$）平行于 $A_1C_1$；而 $A_1C_1 \parallel AC$，所以交线 $\parallel AC$。

选 D 是忘了基本事实 3：两个不同平面有一个公共点，就有一条过这点的交线。选 C 是只看到了 $B$ 附近的棱，$BC$ 并不在平面 $A_1BC_1$ 里。

平行平面截线段成比例：两条直线分别与三个互相平行且互不重合的平面相交于 $A,B,C$ 和 $A',B',C'$，则对应线段长度满足 $AB/BC=A'B'/B'C'$。证法也是用性质定理把空间问题截到平面里。

5. 三大翻车现场与反例微图解

翻车点 1 线面平行误认为和面内所有线平行

❌ $a \parallel \alpha$，就以为对面内任意直线 $c$ 都有 $a \parallel c$。

✔ 多数是异面：$a$ 只是和平面无公共点！面内除特定交线外，其余线与 $a$ 绝大多数都是异面直线。

翻车点 2 面面判定漏掉“相交”要件

❌ 平面内有两条平行线平行于另一平面，就断定两平面平行。

✔ 直线必须相交：两条平行线都平行于另一平面时，它们所在的平面仍可能与另一平面相交，所以判定定理要求用两条相交直线。

翻车点 3 线面判定漏写“直线在面外”

❌ 只写 $a \parallel b$ 且 $b \subset \alpha$，遗漏 $a \not\subset \alpha$。

✔ 书写提示：若 $a$ 本来就在面内，与 $b$ 平行不能说明线面平行。必须写明 $a \not\subset \alpha$。

反例微图解：门页旋转模型（单条/两条平行线无法锁死面面平行）

门框轴 $a \parallel \alpha$，门页上的平行边 $b \parallel a$，但门页可绕轴任意旋转与地面相交！只有在门页上再找一条与 $a$ 相交的线也平行于地面，才能锁死面面平行。

再深一点（可以先跳过）

平行平面的传递性：对于三个互不重合的平面 $\alpha,\beta,\gamma$，若 $\alpha \parallel \beta$，$\beta \parallel \gamma$，则 $\alpha \parallel \gamma$。

① 基础：线面平行判定与“面外”条件可视化

拖动高度滑块或点击切换“面外 / 面内”。观察：当直线 $a$ 移入平面 $\alpha$ 时，虽然仍与同向直线 $b$ 平行，但两者在同一平面内，属于“直线在平面内”，绝不是“线面平行”！

高度 $h = $ 45

② 进阶：面面平行相交条件必要性（为什么两条平行线不行？）

切换“两条相交直线”与“两条平行线”。当只有一组平行线时，拖动倾斜角 $\theta$，平面 $\beta$ 可绕交线旋转与底面相交，展示经典反例：

平面 $\beta$ 倾角 $\theta = $ 0°

从易到难排好了。涵盖直接应用与专题卡中的三条易错红线辨析。

直接用

1. 在三棱锥 $P-ABC$ 中，点 $D, E$ 分别是侧棱 $PA, PB$ 的中点。直线 $DE$ 与底面 $ABC$ 的位置关系是：

A。在 $\triangle PAB$ 中，$D, E$ 为中点，由三角形中位线定理得 $DE \parallel AB$。

因为 $DE \not\subset$ 平面 $ABC$，且 $AB \subset$ 平面 $ABC$，由线面平行判定定理，必有 $DE \parallel$ 平面 $ABC$。选 B 的同学把空间三角形中位线误认为会相交了。

2. 已知直线 $a \parallel$ 平面 $\alpha$，经过直线 $a$ 的平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 相交于直线 $b$。关于直线 $a$ 与直线 $b$ 的位置关系，下列说法正确的是：

B。这是线面平行性质定理的直接应用！

因为 $a \parallel \alpha$，所以 $a$ 与平面 $\alpha$ 没有公共点；而交线 $b \subset \alpha$，所以 $a$ 与 $b$ 绝无公共点。又因为 $a \subset \beta$ 且 $b \subset \beta$，两线共面且没有公共点，所以必有 $a \parallel b$。

易错

3. 已知直线 $a$、$b$ 与平面 $\alpha$。若 $a \parallel b$ 且 $b \subset \alpha$，则直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系是：

B。高频易错红线：漏掉“平面外”条件！

线面平行判定定理必须满足三个条件：$a \not\subset \alpha$、$b \subset \alpha$、$a \parallel b$。如果题目没有说明 $a \not\subset \alpha$，那么直线 $a$ 完全可能就在平面 $\alpha$ 内（例如在同一平面内画两条平行线 $a \parallel b$）。因此 $a$ 可能平行于 $\alpha$，也可能在 $\alpha$ 内。选 A 的同学把定理的必要前提 $a \not\subset \alpha$ 漏掉了！

4. 设平面 $\alpha$ 内有两条不同的直线 $m, n$。若 $m \parallel \beta$ 且 $n \parallel \beta$，则能判定 $\alpha \parallel \beta$ 成立的充分条件是：

B。高频易错红线：面面平行判定必须是“两条相交直线”！

若 $m \parallel n$，平面 $\alpha$ 可以绕平行线旋转，与平面 $\beta$ 相交（正如“动手”模块 ② 中的反例）：两条平行线定不住平面，只有当两条直线相交时，平面朝向才被彻底定死，才能保证 $\alpha \parallel \beta$。另外，$m, n$ 都在平面 $\alpha$ 内，不可能异面，C 选项在同一平面内不成立。

5. 设 $m, n$ 是两条不同的直线，$\alpha, \beta$ 是两个不同的平面。下列命题中为真命题的是：

C。综合辨析：

A 错误：平行于同一平面的两条直线可以平行、相交或异面（如天花板上纵横交错的两根灯管都平行于地面，但它们垂直相交或异面）；

B 错误：两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面（如正方体上底面的一条边与下底面垂直方向的一条边，它们异面）；

C 正确：在交线 $l$ 上取点 $P$。由 $m \parallel \alpha$ 知 $P\notin m$，过 $m$ 与 $P$ 作平面 $\gamma$。因为 $m$ 在 $\alpha,\beta$ 外，$\gamma$ 与这两个平面分别相交于过 $P$ 的直线 $a,b$。由线面平行性质定理，$m\parallel a$ 且 $m\parallel b$。在 $\gamma$ 内，过 $P$ 与 $m$ 平行的直线只有一条，所以 $a=b$；这条直线同时在 $\alpha,\beta$ 内，必为交线 $l$，故 $m\parallel l$；

D 错误：缺少 $m \not\subset \alpha$ 的前提，直线 $m$ 可以在平面 $\alpha$ 内。

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先修回顾 · 初中数学

学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：

初中 · 21.2 平行四边形立体几何中将“线面平行、面面平行”转化为“线线平行”时，最核心的辅助线手段就是构造平行四边形或三角形中位线。

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一试延伸

学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。

空间角与距离

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