2015 年中科大少年班初试 · 第 9 题

解答

山峰到三点的距离分别为 $PA=h/\sin {\theta }_1,PB=h/\sin {\theta }_2,PC=h/\sin {\theta }_3$。因 $B$ 为 $AC$ 中点且 $AB=a$，中线恒等式给 $P{A}^2+P{C}^2=2P{B}^2+2a^2$。代入并利用 ${\csc }^2\theta =1+{\cot }^2\theta$，得 $h^2({\cot }^2{\theta }_1+{\cot }^2{\theta }_3-2{\cot }^2{\theta }_2)=2a^2$。因此 $\boxed{h=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{{\cot }^2{\theta }_1+{\cot }^2{\theta }_3-2{\cot }^2{\theta }_2}}}$。