2010 年天津预赛 · 第 1 题

解答

由第一式得 $bc=a^2-2a+10$，代入第二式得 $b^2+c^2=-a^2+14a+5$。于是

故 $1\le a\le 5$。反过来，对任意 $a\in [1,5]$，取 $b,c$ 为方程

的两个根。判别式为 $3(a-1)(5-a)\ge 0$，所以两根为实数；并有 $bc=a^2-2a+10$、$b+c=a+5$，从而

两条原约束均成立，故所求范围为 $\boxed{[1,5]}$。