三角恒等变形知识图谱

$\sin x,\cos x$ 对所有实数弧度有定义；$\tan x$ 要求 $\cos x\ne 0$。带度数标记的角不能把数字直接当弧度代入。

若设 $u=\cos x$，必须保留 $-1\le u\le 1$。解出代数根以后，先过滤范围外的根，再解角；区间端点是否包含也会影响最终个数。

$\sin u=\sin v$ 的全部实数解是 $u=v+2k\pi$ 或 $u=\pi -v+2k\pi$，$k\in \mathbb{Z}$。只有给定较小角域后，才可能压缩成少量分支，不能先删去整周项。

若出现 $\cos (\pi /3-\theta )$ 与 $\cos (\pi /6+\theta )$，令 $u=\theta +\pi /6$，第一项变成 $\cos (\pi /2-u)=\sin u$，第二项为 $\cos u$。

若 $\sin u=\sqrt{2}\cos u$，则 $\cos u$ 不可能为零，否则正弦也为零，违背平方和为1。于是 ${\tan }^{2}u=2$，$\cos 2u=(1-{\tan }^{2}u)/(1+{\tan }^{2}u)=-1/3$。

把 $2{\sin }^{2}x-3\cos x-3=0$ 中的 ${\sin }^{2}x$ 换成 $1-{\cos }^{2}x$，得到 $2{\cos }^{2}x+3\cos x+1=0$，因式为 $(2\cos x+1)(\cos x+1)$。

$\cos ((n+1)t)+\cos ((n-1)t)=2\cos (nt)\cos t$。它把相邻次数的和化成同一个中间次数，适合与已有的 $\cos (nt)$ 项抵消。

在 $[0,2\pi ]$ 内，$\cos x=-1/2$ 给 $2\pi /3,4\pi /3$，$\cos x=-1$ 给 $\pi$。三点互不相同，和为 $3\pi$；0与 $2\pi$ 的余弦为1，不应加入。

$\sin 85^{\circ }=\cos 5^{\circ }$，而 $\cos 185^{\circ }=-\cos 5^{\circ }$。使用前一条和差化积后，要保留这个负号；变形过程中作除法、平方时引入的限制也需回到原式检查。