必修第一册 · 第 5 章三角函数

5.2 三角函数的概念

初中的 sin、cos、tan 只管锐角。把角放进坐标系、让终边去碰单位圆，任意角都有正弦、余弦；正切还要求终边不在 y 轴上。坐标也让函数值有了正负号。先从一座摩天轮开始。

一座摩天轮，半径 $10$ 米。一个座舱从和中心一样高的最右边（$0^\circ$）出发，逆时针转。先作答，再用揭晓后的角度按钮，看座舱里的直角三角形怎么给出“水平距离”和“高度”。

座舱绕中心转过 $30^\circ$ 时，它比中心高多少米？

1. 先认识几个词：单位圆定义、象限符号与同角两大关系

要用到：初中的锐角三角比（对边比斜边）；5.1 的任意角与弧度制（回看 5.1）。先看下面这幅微图解：

直觉微图解 ①单位圆坐标定义、四象限符号与同角平方商数

维度飞跃初中边长之比 vs 高中单位圆坐标

初中直角三角形内只能算锐角且恒正；高中在单位圆上取终边交点，将角顶点放原点、始边重合 $x$ 轴正向，$\sin\alpha=y,\ \cos\alpha=x$ 赋予坐标正负号，正弦、余弦推广到任意实数角；正切还须检查横坐标不为零。

定义禁区正切无意义点与轴线角

当终边落在 $y$ 轴上（$\alpha=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$）时，横坐标 $x=0$，$\tan\alpha=\dfrac{y}{x}$ 分母为零绝对无定义！坐标轴上的轴线角不属于任何象限！

2. 核心数学定义与同角三角恒等式

单位圆上：$\sin\alpha=y,\quad\cos\alpha=x$；$\tan\alpha=y/x\ (x\ne0)$。一般终边上取 $P(x,y)\ne O$，$r=\sqrt{x^2+y^2}>0$：$\sin\alpha=y/r,\quad\cos\alpha=x/r$，$\tan\alpha=y/x\ (x\ne0)$。

平方关系（知一求二，开方必查象限）：
$\color{#966524}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1}$

商数关系（弦化切超级武器）：
$\color{#3E5C76}{\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$，
条件：$\color{#3E5C76}{\alpha \ne \frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}$。

例 1（单位圆坐标求三角函数值）

求 $\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$（即 $120^\circ$）的三个三角函数值。

终边在第二象限，与 $x$ 轴负半轴夹角为 $60^\circ$，单位圆交点 $P\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$。
由定义直接读坐标：$\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$，$\tan\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$。

自己试试：$\cos\pi=$？

C。$\pi$ 的终边落在 $x$ 轴负半轴，单位圆交点为 $P(-1, 0)$，余弦等于横坐标，即 $\cos\pi = -1$。选 A 的同学混淆了横纵坐标（$\sin\pi = 0$）。

例 2（终边任取一点求值）

角 $\alpha$ 的终边经过点 $(-8,15)$，求 $\sin\alpha,\ \cos\alpha,\ \tan\alpha$。

到原点距离 $r = \sqrt{(-8)^2+15^2} = 17$（距离恒正）。
$\sin\alpha = \dfrac{y}{r} = \dfrac{15}{17}$，$\cos\alpha = \dfrac{x}{r} = -\dfrac{8}{17}$，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x} = -\dfrac{15}{8}$。

自己试试：角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(3,-4)$，$\sin\alpha=$？

C。$r = \sqrt{3^2+(-4)^2} = 5$，$\sin\alpha = \dfrac{y}{r} = -\dfrac{4}{5}$。选 B 是把边长恒正套了上来，忽略了第四象限纵坐标为负！

为什么终边取任何点比值都一样：终边上除原点外的任意两点坐标成相似比例，$\dfrac{y_1}{r_1} = \dfrac{y_2}{r_2}$，这里 $r_1,r_2>0$，比值只由旋转角度决定，与所取点到原点的距离完全无关！

3. 三步破题思维链：同角三角函数知一求二与弦化切

例 3（示范：同角求值与齐次分式弦化切三步思维链）

已知 $\sin\alpha = -\dfrac{3}{5}$，且 $\alpha$ 是第四象限角。求 $\cos\alpha,\ \tan\alpha$；并求分式 $\dfrac{2\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha}$ 的值。

👀 看到什么 → 想什么：

已知一个三角函数值并限定象限 → 先由象限确定其余函数的正负，再用同角关系求值。
题目出现 sin、cos 的齐次式 → 想同时除以 cos² 或 sin²，化成 tan 的式子。

🔧 第二步商数关系求正切：代入商数关系式：$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{-3/5}{4/5} = -\dfrac{3}{4}$；
核对口诀“四余弦正”，第四象限只有余弦为正，正切为负，完全自洽！

🛡️ 第三步齐次分式弦化切避免通分繁杂运算：所求式分子、分母均为正弦、余弦的一次齐次式，分子分母同除以 $\cos\alpha$（$\cos\alpha = \dfrac{4}{5} \ne 0$）：
$\dfrac{2\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} = \dfrac{2\tan\alpha + 1}{1 - \tan\alpha} = \dfrac{2(-3/4) + 1}{1 - (-3/4)} = \dfrac{-1/2}{7/4} = -\dfrac{2}{7}$！

自己试试：$\tan\alpha>0$ 且 $\cos\alpha<0$，$\alpha$ 是第几象限角？

C。$\tan\alpha>0$ 说明横纵坐标同号（一或三象限）；$\cos\alpha<0$ 说明横坐标为负（二或三象限）。取交集即为第三象限！

例 4（已知正切化弦求值）

$\tan\alpha=2$，求 $\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$。

分子分母同除以 $\cos\alpha$（正切存在必有 $\cos\alpha\ne0$）：
原式 $= \dfrac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1} = \dfrac{2+1}{2-1} = 3$。

自己试试：$\tan\alpha=3$，$\dfrac{2\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=$？

A。同除以 $\cos\alpha$ 得 $\dfrac{2\tan\alpha-1}{\tan\alpha+1} = \dfrac{6-1}{3+1} = \dfrac{5}{4}$。

4. 用之前必查：三大高频翻车现场

翻车现场 ①开方求值不看象限，单解漏解或双解乱套

❌ 典型错解：已知 $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$，直接得出 $\cos\alpha = \sqrt{1-(4/5)^2} = \dfrac{3}{5}$。

✅ 一眼看清真相：题目若未指明象限，$\alpha$ 既可能在第一象限（$\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$），也可能在第二象限（$\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$）！必须分类讨论取 $\pm\dfrac{3}{5}$！

翻车现场 ②方程两边盲目约掉未知数导致漏根

❌ 典型错解：解方程 $\sin\alpha\cos\alpha = \cos\alpha$，两边同时约去 $\cos\alpha$ 得 $\sin\alpha = 1$。

✅ 一眼看清真相：未知式除以 $\cos\alpha$ 必须先证明其非零！移项因式分解 $\cos\alpha(\sin\alpha-1)=0$，解得 $\cos\alpha=0$ 或 $\sin\alpha=1$！直接约分直接漏解！

翻车现场 ③忽视正切在 y 轴轴线角的无定义禁区

❌ 典型错解：以为正切和正弦余弦一样处处有定义，把 $\tan 90^\circ$ 当成某具体数值。

✅ 看右图秒懂真相：$\alpha = \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ 时终边落在 $y$ 轴上，横坐标 $x=0$，分母断裂绝对无意义！

再深一点（可以先跳过）

利用“1”的代换弦化切：先用 $1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ 将 $\sin\alpha\cos\alpha$ 写成分式。$\cos\alpha\ne0$ 时，分子分母同除 $\cos^2\alpha$，得到 $\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\dfrac{\tan\alpha}{\tan^2\alpha+1}$。$\cos\alpha=0$ 时，正切无定义，应保留原式直接算得 $\sin\alpha\cos\alpha=0$，不能使用正切式。

单位圆：拖点 $P$，读三个函数值

拖动单位圆上的金色点 $P$ 转动终边（可以多转几圈，也可以顺时针转成负角）。横的粗线是 $\cos\alpha$，竖的粗线是 $\sin\alpha$。下面的按钮给四个象限涂上某个函数的正负号。键盘：Tab 选中 $P$，方向键每次 5°，PageUp / PageDown 每次 90°。

试一试：把 $P$ 拖到 $y$ 轴上，看 $\tan\alpha$ 怎样；再看虚线连着的点 $P'$——它和 $P$ 的正弦一样，余弦相反。

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. 角 $\alpha$ 的终边经过点 $(-5,12)$，$\cos\alpha=$？

D。$r=\sqrt{25+144}=13$，$\cos\alpha=\dfrac xr=-\dfrac5{13}$。A 丢了负号；B 是 $\sin\alpha$；C 是 $\dfrac xy$，既不是余弦也不是正切。

2. $\alpha$ 是第二象限角，$\sin\alpha=\dfrac45$，$\tan\alpha=$？

B。$\cos^2\alpha=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac9{25}$，第二象限余弦为负，$\cos\alpha=-\dfrac35$，$\tan\alpha=\dfrac{4/5}{-3/5}=-\dfrac43$。A 忘了余弦的负号；C 把正切算成了 $\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$。

易错

3. 已知 $\sin\alpha=\dfrac35$，那么 $\cos\alpha=$？

C。由 $\cos^2\alpha=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}$，开方得 $\pm\dfrac45$。

正弦为正，终边可能在第一象限，也可能在第二象限：在单位圆上就是 $y=\dfrac35$ 这条横线碰到的两个点，一左一右。只写 $\dfrac45$ 丢了一种；说“求不出”也不对，结果只有这两种。题目给了象限（或角的范围），才能定下一个符号。

4. $\alpha=\dfrac{3\pi}2$ 时，下面哪句对？

A。$\dfrac{3\pi}2$ 的终边是 $y$ 轴负半轴，碰到单位圆在 $(0,-1)$：$\sin\alpha=-1$，$\cos\alpha=0$。

B 错：终边在坐标轴上的角不属于任何象限，不能套象限符号表。C 错：$\cos\alpha=0$ 时 $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ 这个关系本身就不能用，“$-\infty$”不是一个数。D 把横纵坐标弄反了。

5. 已知 $\sin\alpha=2\cos\alpha$。小明两边同除以 $\cos\alpha$，得 $\tan\alpha=2$。他这一步还缺什么？

B。结论 $\tan\alpha=2$ 是对的，但除法有前提：除数不能为 $0$。

这里正好能用平方关系排除 $\cos\alpha=0$：那样 $\sin\alpha$ 也得是 $0$，两者的平方和就成了 $0$，不是 $1$。写上这一句，推理才完整。C 错：两边相除不会产生正负号，正负号是开平方时才有的。

同类例题：终边过含参数点，先求距离再分类

已知角 $\alpha$ 的终边经过 $P(-3a,4a)$，$a\ne0$，求 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$、$\tan\alpha$。到原点距离为 $r=5|a|$，按 $a>0$ 与 $a<0$ 分类，原点不取。

挑战

6. $\alpha\in(0,\pi)$，$\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac15$，$\tan\alpha=$？

C。把 $\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac15$ 和 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ 联立：设 $\sin\alpha=s$，则 $\cos\alpha=\dfrac15-s$，代入得 $s^2+\left(\dfrac15-s\right)^2=1$，整理成 $25s^2-5s-12=0$，$s=\dfrac45$ 或 $s=-\dfrac35$。

$\alpha\in(0,\pi)$，终边在 $x$ 轴上方，$\sin\alpha>0$，只能 $\sin\alpha=\dfrac45$，$\cos\alpha=-\dfrac35$，$\tan\alpha=-\dfrac43$。选 B 是没用角的范围去掉 $\sin\alpha=-\dfrac35$、$\cos\alpha=\dfrac45$ 那一组。

同类例题：乘积与差两个条件，取象限交集

若 $\sin\theta\cos\theta<0$，且 $\cos\theta-\sin\theta>0$，终边在哪个象限？单位圆上先看 $xy<0$，再看 $x>y$，取交集得到第四象限。