2023 年中科大少年班复试 · 第 7 题

解答

设 $\Sigma =\phi +\theta$。直接相乘并用和角公式得 $T_1{T}_2=\left(\begin{array}{cc}\cos \Sigma & -\sin \Sigma \\ \sin \Sigma & \cos \Sigma \end{array}\right)$。所以 $\boxed{T_1(T_{2}X)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\cos \Sigma -x_2\sin \Sigma \\ x_1\sin \Sigma +x_2\cos \Sigma \end{array}\right)}$。每个所给矩阵都把向量绕原点旋转相应有向角而保持长度，因此复合的几何意义为绕原点逆时针旋转有向角 $\theta +\phi$（按 $2\pi$ 取模）。